Continuidad, derivabilidad y recta tangente en funciones a trozos

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 1$.** Para que la función sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto ($f(1)$). 1. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^3 + ax^2) = 1^3 + a(1)^2 = 1 + a$$ 2. **Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(bx + \frac{2}{x}\right) = b(1) + \frac{2}{1} = b + 2$$ $$f(1) = b + 2$$ Igualamos ambos límites para asegurar que no hay un salto entre ramas: $$1 + a = b + 2 \implies a - b = 1$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Para que la función sea derivable en $x = 1$, primero debe ser continua (condición ya analizada) y sus derivadas laterales deben coincidir. Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2ax & \text{si } x < 1 \\ b - \frac{2}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ 1. **Derivada lateral izquierda ($x \to 1^-$):** $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (3x^2 + 2ax) = 3(1)^2 + 2a(1) = 3 + 2a$$ 2. **Derivada lateral derecha ($x \to 1^+$):** $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \left(b - \frac{2}{x^2}\right) = b - \frac{2}{1^2} = b - 2$$ Igualamos las derivadas laterales: $$3 + 2a = b - 2 \implies 2a - b = -5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{2}{x} = 2x^{-1}$ es $-2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones obtenidas: $$\begin{cases} a - b = 1 \\ 2a - b = -5 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $b$: $$(2a - a) - (b - b) = -5 - 1$$ $$a = -6$$ Sustituimos el valor de $a$ en la primera ecuación: $$-6 - b = 1 \implies -b = 7 \implies b = -7$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -6, \quad b = -7}$$

**b) (1 punto) Para $b = 3$, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa $x = 2$.** El punto de abscisa $x = 2$ pertenece al intervalo $x \geq 1$, por lo que usamos la segunda rama de la función con $b = 3$: $$f(x) = 3x + \frac{2}{x}$$ 1. **Punto de tangencia ($y_0$):** Calculamos la imagen de $x = 2$: $$f(2) = 3(2) + \frac{2}{2} = 6 + 1 = 7$$ El punto es $(2, 7)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos la derivada en $x = 2$: $$f'(x) = 3 - \frac{2}{x^2}$$ $$m = f'(2) = 3 - \frac{2}{2^2} = 3 - \frac{2}{4} = 3 - 0.5 = 2.5 = \frac{5}{2}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en dicho punto.

Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituyendo los valores $x_0 = 2$, $f(x_0) = 7$ y $m = \frac{5}{2}$: $$y - 7 = \frac{5}{2}(x - 2)$$ Despejamos para obtener la forma explícita: $$y = \frac{5}{2}x - \frac{10}{2} + 7$$ $$y = \frac{5}{2}x - 5 + 7$$ $$y = \frac{5}{2}x + 2$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{y = \frac{5}{2}x + 2}$$