Probabilidad en aparcamientos por zonas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según la zona y si la plaza está protegida del sol o no: - $A$: La plaza está en la zona A. - $B$: La plaza está en la zona B. - $C$: La plaza está en la zona C. - $S$: La plaza está protegida del sol. - $\bar{S}$: La plaza no está protegida del sol. Calculamos las probabilidades iniciales basándonos en el número total de plazas ($3000$): - $P(A) = \dfrac{1500}{3000} = 0.5$ - $P(B) = \dfrac{1000}{3000} = \dfrac{1}{3} \approx 0.3333$ - $P(C) = \dfrac{500}{3000} = \dfrac{1}{6} \approx 0.1667$ Calculamos las probabilidades condicionadas (si está protegida dado que está en una zona): - $P(S|A) = \dfrac{1350}{1500} = 0.9 \implies P(\bar{S}|A) = 0.1$ - $P(S|B) = 0.8 \implies P(\bar{S}|B) = 0.2$ - $P(S|C) = \dfrac{250}{500} = 0.5 \implies P(\bar{S}|C) = 0.5$ Presentamos el árbol de probabilidad:

**a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?** Como una plaza no puede estar en dos zonas a la vez, los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles (su intersección es vacía). Por tanto, la probabilidad de la unión es la suma de sus probabilidades: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(A \cup B) = \frac{1500}{3000} + \frac{1000}{3000} = \frac{2500}{3000}$$ Simplificamos la fracción: $$P(A \cup B) = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si los sucesos son mutuamente excluyentes (incompatibles), la probabilidad de que ocurra uno u otro es simplemente la suma de sus probabilidades individuales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{5}{6} \approx 0.8333}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?** Para calcular la probabilidad de que una plaza no esté protegida del sol ($P(\bar{S})$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el espacio muestral está dividido en tres zonas (A, B y C): $$P(\bar{S}) = P(A) \cdot P(\bar{S}|A) + P(B) \cdot P(\bar{S}|B) + P(C) \cdot P(\bar{S}|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{S}) = \left( \frac{1500}{3000} \cdot 0.1 \right) + \left( \frac{1000}{3000} \cdot 0.2 \right) + \left( \frac{500}{3000} \cdot 0.5 \right)$$ Operamos con fracciones para mayor exactitud: $$P(\bar{S}) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{10} \right) + \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \right)$$ $$P(\bar{S}) = \frac{1}{20} + \frac{2}{30} + \frac{1}{12} = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de 20, 15 y 12, que es 60: $$P(\bar{S}) = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0.2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que llevan a él en el árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S}) = 0.2}$$

**c) (1 punto) Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté ubicada en la zona B?** Nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, el **Teorema de Bayes**. Queremos hallar $P(B|S)$. La fórmula de Bayes nos dice: $$P(B|S) = \frac{P(B \cap S)}{P(S)} = \frac{P(B) \cdot P(S|B)}{P(S)}$$ Primero, calculamos $P(S)$ (probabilidad de estar protegida). Como sabemos que $P(\bar{S}) = 0.2$ del apartado anterior, por el suceso complementario: $$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.2 = 0.8$$ Ahora calculamos el numerador $P(B \cap S)$: $$P(B \cap S) = P(B) \cdot P(S|B) = \frac{1}{3} \cdot 0.8 = \frac{0.8}{3}$$ Finalmente, calculamos $P(B|S)$: $$P(B|S) = \frac{0.8 / 3}{0.8} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando ya conocemos el resultado final (está protegida) y queremos saber la probabilidad de que proceda de una rama específica (zona B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|S) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$