Intervalo de confianza y tamaño muestral para la proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Número de usuarios: $x = 380$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementario ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{380}{500} = 0.76$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.76 = 0.24$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestro mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$ desconocida. $$\boxed{\hat{p} = 0.76, \quad \hat{q} = 0.24}$$

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9850$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.76 \cdot 0.24}{500}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.1824}{500}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0003648}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.0191 = 0.041447$$ El intervalo de confianza es $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.76 - 0.0414 = 0.7186$ - Límite superior: $0.76 + 0.0414 = 0.8014$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza siempre tiene la forma $(\text{estimador} \pm \text{error})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.7186, 0.8014)}$$

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.** Datos para este apartado: - Nivel de confianza: $96\% \implies 1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$ - Error máximo permitido: $E \le 0.02$ - Proporción mantenida: $\hat{p} = 0.76, \quad \hat{q} = 0.24$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ Mirando en la tabla $N(0,1)$, el valor más próximo a $0.9800$ es $2.05$ (que corresponde a $0.9798$) o $2.06$ (que corresponde a $0.9803$). Usaremos **$z_{\alpha/2} = 2.05$** (o el valor más preciso mediante interpolación $2.054$). Utilizaremos $2.05$ por ser el estándar habitual. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$

Aislamos $n$ de la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2.05)^2 \cdot 0.76 \cdot 0.24}{(0.02)^2} = \frac{4.2025 \cdot 0.1824}{0.0004}$$ $$n = \frac{0.766536}{0.0004} = 1916.34$$ Como buscamos el número mínimo de estudiantes y el resultado no es entero, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba, incluso si el decimal es pequeño. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1917 \text{ estudiantes}}$$