Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.8 puntos) Represente gráficamente la región que definen y calcule sus vértices.** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en rectas para dibujar sus fronteras: 1. $r_1: x + 2y = 11 \implies y = \frac{11 - x}{2}$ 2. $r_2: x - 2y = -5 \implies y = \frac{x + 5}{2}$ 3. $r_3: 3x + y = 18 \implies y = 18 - 3x$ 4. $x = 0$ (Eje $Y$) 5. $y = 0$ (Eje $X$) Calculamos un par de puntos para cada recta para poder dibujarlas: - Para $r_1$: Si $x=1, y=5$; si $x=11, y=0$. - Para $r_2$: Si $x=1, y=3$; si $x=3, y=4$. - Para $r_3$: Si $x=5, y=3$; si $x=6, y=0$. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución, sustituye el punto $(0,0)$ en la inecuación. Por ejemplo, en $3x + y \le 18 \implies 0 \le 18$ es cierto, por lo que la región incluye el origen.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ e $y=0$. $$\boxed{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $r_3$ con el eje $X$ ($y=0$): $3x + 0 = 18 \implies x = 6$. $$\boxed{B(6, 0)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $r_1$ y $r_3$: $$\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 3x + y = 18 \implies y = 18 - 3x \end{cases}$$ Sustituimos: $x + 2(18 - 3x) = 11 \implies x + 36 - 6x = 11 \implies -5x = -25 \implies x = 5$ $y = 18 - 3(5) = 3$. $$\boxed{C(5, 3)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} x + 2y = 11 \\ x - 2y = -5 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $2x = 6 \implies x = 3$ $3 + 2y = 11 \implies 2y = 8 \implies y = 4$. $$\boxed{D(3, 4)}$$ - **Vértice E:** Intersección de $r_2$ con el eje $Y$ ($x=0$): $0 - 2y = -5 \implies y = 2.5$. $$\boxed{E(0, 2.5)}$$

**b) (0.5 puntos) Halle los puntos de esa región en los que la función $F(x,y) = 2x + 3y$ alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo se encuentran en los vértices de la región factible. Evaluamos $F(x,y) = 2x + 3y$ en cada uno: - $F(A) = F(0, 0) = 2(0) + 3(0) = 0$ - $F(B) = F(6, 0) = 2(6) + 3(0) = 12$ - $F(C) = F(5, 3) = 2(5) + 3(3) = 10 + 9 = 19$ - $F(D) = F(3, 4) = 2(3) + 3(4) = 6 + 12 = 18$ - $F(E) = F(0, 2.5) = 2(0) + 3(2.5) = 7.5$ Comparando los resultados: - El **valor máximo es 19** y se alcanza en el punto **$(5, 3)$**. - El **valor mínimo es 0** y se alcanza en el punto **$(0, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 19 \text{ en } (5, 3); \text{ Mínimo: } 0 \text{ en } (0, 0)}$$

**c) (0.2 puntos) Justifique si el punto $(5.5, 2)$ pertenece a la región factible.** Para que un punto pertenezca a la región factible, debe cumplir **todas** las inecuaciones del sistema simultáneamente: 1. $x + 2y \le 11 \implies 5.5 + 2(2) = 9.5 \le 11$ (Cumple ✅) 2. $x \ge 2y - 5 \implies 5.5 \ge 2(2) - 5 = -1$ (Cumple ✅) 3. $3x + y \le 18 \implies 3(5.5) + 2 = 16.5 + 2 = 18.5 \le 18$ (**No cumple** ❌) Como el punto no satisface la tercera inecuación, podemos afirmar que no pertenece a la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto } (5.5, 2) \text{ no pertenece a la región factible porque } 18.5 \not\le 18}$$