Estudio de una función de consumo de cereales

**a) (0.8 puntos) ¿En qué instante se alcanza el máximo consumo de cereales y cuántas toneladas se consumen en ese momento?** Para hallar los máximos y mínimos de la función de consumo $c(t)$ en el intervalo $[0, 12]$, primero calculamos su primera derivada para localizar los puntos donde la pendiente es cero. La función es: $c(t) = t^3 - 15t^2 + 63t + 10$. Derivamos término a término: $$c'(t) = 3t^2 - 30t + 63$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3t^2 - 30t + 63 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $3$ para simplificar: $$t^2 - 10t + 21 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$t = \frac{10 \pm 4}{2} \implies t_1 = 7, \quad t_2 = 3$$ Ambos valores pertenecen al dominio $[0, 12]$. 💡 **Tip:** Los extremos de una función en un intervalo cerrado pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo ($t=0$ y $t=12$).

Para determinar cuál es el máximo y responder al apartado b), estudiamos el signo de la derivada $c'(t)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 12]$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 3) & 3 & (3, 7) & 7 & (7, 12)\\\hline c'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Consumo} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máx. rel} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mín. rel} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ - En $(0, 3)$, tomamos $t=1$: $c'(1) = 3(1)^2 - 30(1) + 63 = 36 \gt 0$ (Crece). - En $(3, 7)$, tomamos $t=4$: $c'(4) = 3(4)^2 - 30(4) + 63 = 48 - 120 + 63 = -9 \lt 0$ (Decrece). - En $(7, 12)$, tomamos $t=8$: $c'(8) = 3(8)^2 - 30(8) + 63 = 192 - 240 + 63 = 15 \gt 0$ (Crece). **b) (0.7 puntos) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el consumo de cereales?** Observando la tabla, el consumo decrece cuando la derivada es negativa. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\text{El consumo decrece en el intervalo } (3, 7)}$$

Para responder al apartado a), evaluamos la función en los puntos candidatos (extremos relativos y extremos del intervalo) para comparar los valores del consumo: 1. En $t=0$: $c(0) = 0^3 - 15(0)^2 + 63(0) + 10 = 10$ 2. En $t=3$ (Máximo relativo): $c(3) = 3^3 - 15(3)^2 + 63(3) + 10 = 27 - 135 + 189 + 10 = 91$ 3. En $t=7$ (Mínimo relativo): $c(7) = 7^3 - 15(7)^2 + 63(7) + 10 = 343 - 735 + 441 + 10 = 59$ 4. En $t=12$: $c(12) = 12^3 - 15(12)^2 + 63(12) + 10 = 1728 - 2160 + 756 + 10 = 334$ Comparando los valores: $10 \lt 59 \lt 91 \lt 334$. El valor más alto se alcanza al final del periodo estudiado ($t=12$). ✅ **Resultado a):** $$\boxed{\text{El máximo se alcanza en } t=12 \text{ con un consumo de } 334 \text{ miles de toneladas}}$$ *Nota: Aunque hay un máximo relativo en $t=3$, el máximo absoluto de la función en el intervalo dado ocurre en el extremo $t=12$.*

**c) (1 punto) Represente gráficamente la función.** Para representar $c(t)$ en $[0, 12]$, utilizamos los puntos clave calculados: - Punto inicial: $(0, 10)$ - Máximo relativo: $(3, 91)$ - Mínimo relativo: $(7, 59)$ - Punto final: $(12, 334)$ La gráfica sube hasta $t=3$, baja hasta $t=7$ y vuelve a subir de forma pronunciada hasta $t=12$.