Independencia de sucesos y probabilidad condicionada

Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en una tabla de contingencia o extraer los datos directamente. Definimos los sucesos: - $D$: Asistir a la consulta del dentista. - $A$: Hacerse una analítica. Los datos del enunciado expresados en probabilidad son: - $P(D) = 25\% = 0.25$ - $P(A) = 10\% = 0.10$ - $P(D \cap A) = 8\% = 0.08$ (Habitantes que hacen ambas cosas) Podemos construir una tabla de contingencia para visualizar mejor los datos: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & \bar{A} & \text{Total} \\ \hline D & 0.08 & 0.17 & 0.25 \\ \hline \bar{D} & 0.02 & 0.73 & 0.75 \\ \hline \text{Total} & 0.10 & 0.90 & 1.00 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, los valores interiores deben sumar el total de la fila o columna correspondiente. Por ejemplo, $P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap \bar{A})$.

**a) (0.5 puntos) Razone si los sucesos “Asistir a la consulta del dentista” y “Hacerse una analítica” son independientes.** Dos sucesos $A$ y $D$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(D \cap A) = P(D) \cdot P(A)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(D) \cdot P(A) = 0.25 \cdot 0.10 = 0.025$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección dada: $$P(D \cap A) = 0.08$$ Como $0.08 \neq 0.025$, se tiene que $P(D \cap A) \neq P(D) \cdot P(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes, son dependientes.}}$$

**b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de habitantes ni se hace una analítica ni va al dentista?** Buscamos la probabilidad de que no ocurra el dentista y no ocurra la analítica, es decir, $P(\bar{D} \cap \bar{A})$. Podemos usar las leyes de De Morgan: $$\bar{D} \cap \bar{A} = \overline{D \cup A}$$ Primero, calculamos la probabilidad de la unión (que ocurra al menos una de las dos): $$P(D \cup A) = P(D) + P(A) - P(D \cap A)$$ $$P(D \cup A) = 0.25 + 0.10 - 0.08 = 0.27$$ Ahora, calculamos la probabilidad del suceso contrario: $$P(\bar{D} \cap \bar{A}) = 1 - P(D \cup A) = 1 - 0.27 = 0.73$$ 💡 **Tip:** El suceso "ni A ni B" es el complementario de "A o B". Si el 27% hace alguna de las dos cosas, el resto (73%) no hace ninguna. Como nos piden el porcentaje: $$0.73 \cdot 100 = 73\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{73\% \text{ de los habitantes no se hacen analítica ni van al dentista.}}$$

**c) (1 punto) Si elegimos un habitante al azar de esa localidad de entre los que no van al dentista, ¿cuál es la probabilidad de que se haga una analítica?** Se trata de una probabilidad condicionada. El enunciado nos dice que el habitante pertenece al grupo de los que "no van al dentista", por lo que la condición es $\bar{D}$. Queremos hallar $P(A | \bar{D})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A | \bar{D}) = \frac{P(A \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.25 = 0.75$ 2. $P(A \cap \bar{D})$: Son los que se hacen la analítica pero no van al dentista. Podemos obtenerlo de la tabla de contingencia del paso 1 o restando: $$P(A \cap \bar{D}) = P(A) - P(A \cap D) = 0.10 - 0.08 = 0.02$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A | \bar{D}) = \frac{0.02}{0.75} = \frac{2}{75} \approx 0.0267$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido (o que nos restringimos a) $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{D}) = \frac{2}{75} \approx 0.0267}$$