Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^{2018} + A^{2019}$** Para calcular una potencia elevada de una matriz, primero calculamos las primeras potencias para ver si existe un patrón o ciclo. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 & 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 💡 **Tip:** Cuando $A^2 = I$ (matriz identidad), se dice que la matriz es involutiva. Esto significa que las potencias pares serán iguales a la identidad y las impares iguales a la propia matriz $A$.

Como $A^2 = I$, podemos deducir que: - Si el exponente $n$ es par: $A^n = I$ - Si el exponente $n$ es impar: $A^n = A$ En nuestro caso: - $2018$ es un número par, por lo tanto $A^{2018} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. - $2019$ es un número impar, por lo tanto $A^{2019} = A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Ahora sumamos ambas matrices: $$A^{2018} + A^{2019} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0+0 \\ 0+1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2018} + A^{2019} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $X \cdot A + B \cdot B^t = 2A$** Primero, despejamos la matriz $X$. Para ello, movemos los términos que no contienen $X$ al otro lado y luego multiplicamos por la inversa de $A$: 1. Restamos $B \cdot B^t$ en ambos lados: $$X \cdot A = 2A - B \cdot B^t$$ 2. Para dejar sola a $X$, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ (suponiendo que existe): $$(X \cdot A) \cdot A^{-1} = (2A - B \cdot B^t) \cdot A^{-1}$$ $$X \cdot I = (2A - B \cdot B^t) \cdot A^{-1}$$ $$X = (2A - B \cdot B^t) \cdot A^{-1}$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones matriciales, el orden de los factores importa. Como $A$ multiplica a $X$ por la derecha, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

Necesitamos calcular $B \cdot B^t$. Primero escribimos la matriz traspuesta de $B$, intercambiando filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto: $$B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$(B \cdot B^t)_{11} = 1(1) + 0(0) + (-1)(-1) = 2$$ $$(B \cdot B^t)_{12} = 1(2) + 0(1) + (-1)(0) = 2$$ $$(B \cdot B^t)_{21} = 2(1) + 1(0) + 0(-1) = 2$$ $$(B \cdot B^t)_{22} = 2(2) + 1(1) + 0(0) = 5$$ $$\boxed{B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero $2A$: $$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos la matriz calculada en el paso anterior: $$2A - B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 0-2 \\ 2-2 & -2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (0)(1) = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz tiene inversa. En el apartado (a) vimos que $A^2 = I$. Esto implica directamente que $A \cdot A = I$, por lo tanto, la inversa de $A$ es ella misma: **$A^{-1} = A$**. No obstante, lo comprobamos por el método de la adjunta: $$A_{11} = -1, \, A_{12} = -1, \, A_{21} = 0, \, A_{22} = 1$$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = (2A - B \cdot B^t) \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$x_{11} = 0(1) + (-2)(1) = -2$$ $$x_{12} = 0(0) + (-2)(-1) = 2$$ $$x_{21} = 0(1) + (-7)(1) = -7$$ $$x_{22} = 0(0) + (-7)(-1) = 7$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -7 & 7 \end{pmatrix}}$$