Estudio de beneficios de una almazara

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $B(t)$ en el intervalo $[0, 50]$.** Primero analizamos la continuidad en el interior de cada rama: 1. **En el intervalo $[0, 40)$:** La función $B(t) = -0.04t^2 + 2.4t$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que es continua en todo su dominio. 2. **En el intervalo $(40, 50]$:** La función $B(t) = \frac{40t - 320}{t}$ es una función racional. El único punto donde no es continua es en $t = 0$, pero como estamos en el intervalo $(40, 50]$, la función es continua en esta rama. Ahora estudiamos el punto de salto entre ramas, **$t = 40$**: - $B(40) = \frac{40(40) - 320}{40} = \frac{1600 - 320}{40} = \frac{1280}{40} = 32$. - $\lim_{t \to 40^-} (-0.04t^2 + 2.4t) = -0.04(40)^2 + 2.4(40) = -64 + 96 = 32$. - $\lim_{t \to 40^+} \frac{40t - 320}{t} = \frac{40(40) - 320}{40} = 32$. Como $B(40) = \lim_{t \to 40^-} B(t) = \lim_{t \to 40^+} B(t)$, la función es continua en $t = 40$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(t) \text{ es continua en todo el intervalo } [0, 50]}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en su intervalo abierto: $$B'(t) = \begin{cases} -0.08t + 2.4 & 0 < t < 40 \\ \frac{320}{t^2} & 40 < t < 50 \end{cases}$$ *Nota sobre la derivada de la segunda rama:* Usamos la regla del cociente o simplificamos $B(t) = 40 - \frac{320}{t}$, cuya derivada es $0 - (-320) \cdot t^{-2} = \frac{320}{t^2}$. Analizamos la derivabilidad en el punto de salto **$t = 40$** comprobando las derivadas laterales: - $B'(40^-) = -0.08(40) + 2.4 = -3.2 + 2.4 = -0.8$. - $B'(40^+) = \frac{320}{40^2} = \frac{320}{1600} = 0.2$. Como las derivadas laterales son distintas ($-0.8 \neq 0.2$), la función **no es derivable en $t = 40$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(t) \text{ es derivable en } [0, 50] \setminus \{40\}}$$

**b) (1 punto) Estudie la monotonía de la función $B(t)$ y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos donde $B'(t) = 0$ en cada rama: 1. **Rama 1 ($0 \le t < 40$):** $-0.08t + 2.4 = 0 \implies 0.08t = 2.4 \implies t = \frac{2.4}{0.08} = 30$. 2. **Rama 2 ($40 < t \le 50$):** $\frac{320}{t^2} = 0$ no tiene solución, ya que el numerador es una constante distinta de cero. Evaluamos el signo de $B'(t)$ en los intervalos definidos por $t=30$ y el punto de no derivabilidad $t=40$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 30) & 30 & (30, 40) & 40 & (40, 50) \\\hline B'(t) & + & 0 & - & \nexists & + \\\hline \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Corte} & \nearrow \end{array}$$ Interpretación: - $B(t)$ es **creciente** en $(0, 30) \cup (40, 50)$. - $B(t)$ es **decreciente** en $(30, 40)$. 💡 **Tip:** Para saber el signo en el intervalo, elige un valor de prueba. Por ejemplo, en $(0, 30)$, $B'(10) = -0.8 + 2.4 = 1.6 > 0$.

Para hallar el beneficio máximo, comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo, en el máximo relativo hallado y en el punto de cambio de rama: - $B(0) = -0.04(0)^2 + 2.4(0) = 0$ mil euros. - $B(30) = -0.04(30)^2 + 2.4(30) = -36 + 72 = 36$ mil euros. - $B(40) = 32$ mil euros. - $B(50) = \frac{40(50) - 320}{50} = \frac{2000 - 320}{50} = \frac{1680}{50} = 33.6$ mil euros. El valor máximo absoluto se alcanza en $t = 30$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los } 30 \text{ años con un beneficio de } 36,000 \text{ euros}}$$

**c) (0.5 puntos) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.** La evolución del beneficio se resume así: 1. **De 0 a 30 años:** El beneficio crece de forma parabólica hasta alcanzar su máximo histórico. 2. **De 30 a 40 años:** El beneficio decrece progresivamente. 3. **De 40 a 50 años:** El beneficio vuelve a crecer siguiendo una curva racional. A continuación, se muestra la representación gráfica: