Probabilidad y Estadística 2018 Andalucia
Probabilidad Total y Teorema de Bayes en Lavandería Industrial
EJERCICIO 3
Un hotel dispone de tres lavadoras industriales $L_1$, $L_2$ y $L_3$ para el servicio de lavandería. El 50% de los lavados los realiza $L_1$, el 30% los hace $L_2$ y el resto $L_3$. La lavadora $L_1$ produce un 5% de lavados defectuosos, $L_2$ produce un 15% y $L_3$ un 20%. Se elige al azar un lavado del hotel.
a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por $L_1$, sabiendo que ha sido defectuoso.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $L_1$: El lavado ha sido realizado por la lavadora 1.
- $L_2$: El lavado ha sido realizado por la lavadora 2.
- $L_3$: El lavado ha sido realizado por la lavadora 3.
- $D$: El lavado es defectuoso.
- $\bar{D}$: El lavado no es defectuoso (suceso contrario).
Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol. Sabemos que $P(L_1) = 0.50$, $P(L_2) = 0.30$ y, como el total debe ser el 100%, $P(L_3) = 1 - (0.50 + 0.30) = 0.20$.
💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser siempre 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de un lavado no defectuoso
Para calcular la probabilidad de que un lavado sea no defectuoso, $P(\bar{D})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Sumamos las probabilidades de todas las ramas que terminan en $\bar{D}$:
$$P(\bar{D}) = P(L_1) \cdot P(\bar{D}|L_1) + P(L_2) \cdot P(\bar{D}|L_2) + P(L_3) \cdot P(\bar{D}|L_3)$$
Sustituimos los valores obtenidos del diagrama:
- $P(\bar{D}|L_1) = 1 - 0.05 = 0.95$
- $P(\bar{D}|L_2) = 1 - 0.15 = 0.85$
- $P(\bar{D}|L_3) = 1 - 0.20 = 0.80$
Realizamos la operación:
$$P(\bar{D}) = (0.50 \cdot 0.95) + (0.30 \cdot 0.85) + (0.20 \cdot 0.80)$$
$$P(\bar{D}) = 0.475 + 0.255 + 0.16$$
$$P(\bar{D}) = 0.89$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0.89}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el lavado haya sido realizado por $L_1$, sabiendo que ha sido defectuoso.**
Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(L_1|D)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(L_1|D) = \frac{P(L_1) \cdot P(D|L_1)}{P(D)}$$
Primero, necesitamos calcular la probabilidad de que el lavado sea defectuoso, $P(D)$. Como sabemos que ser defectuoso y no serlo son sucesos contrarios:
$$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0.89 = 0.11$$
Ahora aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(L_1|D) = \frac{0.50 \cdot 0.05}{0.11} = \frac{0.025}{0.11}$$
Multiplicamos por 1000 numerador y denominador para trabajar con fracciones de números enteros:
$$P(L_1|D) = \frac{25}{110} = \frac{5}{22} \approx 0.2273$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada. Es muy útil cuando conocemos las causas ($L_i$) y sus efectos ($D$), y queremos saber la probabilidad de una causa dado un efecto observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(L_1|D) = \frac{5}{22} \approx 0.2273}$$