Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo de confianza para estimar la edad media de los empleados, con un nivel de confianza del 97%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado sobre la población: - La variable $X$ (edad de los empleados) sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma^2)$. - Nos dan la varianza: $\sigma^2 = 64$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{64} = 8$. - El tamaño de la muestra es $n = 16$. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$) sumando todas las edades y dividiendo por el número de empleados: $$\bar{x} = \frac{30+42+38+45+52+60+21+26+33+44+28+49+37+41+38+40}{16} = \frac{624}{16} = 39.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si te dan la varianza ($\sigma^2$), debes calcular siempre su raíz cuadrada para obtener la desviación típica ($\sigma$), que es el valor que usaremos en las fórmulas. $$\boxed{\bar{x} = 39, \quad \sigma = 8, \quad n = 16}$$

Para un nivel de confianza del $97\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos en la tabla de la Normal estándar el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$. Buscamos en el interior de la tabla el valor $0.985$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17.$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza es la probabilidad central. Para hallar el valor en la tabla, siempre sumamos la mitad de lo que falta hasta $1$ (es decir, $0.97 + 0.015 = 0.985$).

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.17 \cdot \frac{8}{\sqrt{16}} = 2.17 \cdot \frac{8}{4} = 2.17 \cdot 2 = 4.34.$$ El intervalo de confianza se define como $I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I = (39 - 4.34, 39 + 4.34) = (34.66, 43.34).$$ ✅ **Resultado (intervalo de confianza):** $$\boxed{I = (34.66, 43.34)}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la edad media de los empleados, con un error inferior a 2 años y un nivel de confianza del 99%.** Para este apartado, cambian las condiciones: - El error deseado es $E \lt 2$. - El nivel de confianza es $99\% \implies 1 - \alpha = 0.99$. Calculamos el nuevo valor crítico: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$. 2. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. En las tablas, el valor $0.995$ se encuentra justo a la mitad entre $2.57$ y $2.58$, por lo que usamos: $$z_{\alpha/2} = 2.575.$$ 💡 **Tip:** Para el nivel de confianza del $99\%$, es muy común usar el valor exacto $2.575$, aunque algunos alumnos usen $2.58$ redondeando.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores ($z_{\alpha/2} = 2.575$, $\sigma = 8$, $E = 2$): $$\sqrt{n} \gt \frac{2.575 \cdot 8}{2} = 2.575 \cdot 4 = 10.3$$ Ahora elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n \gt (10.3)^2 = 106.09$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 2, siempre debemos redondear hacia el entero superior más cercano. ✅ **Resultado (tamaño muestral):** $$\boxed{n = 107 \text{ empleados}}$$