Programación lineal: Optimización de producción en un taller

En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema. Nos preguntan por el número de unidades de cada prenda: - $x$: número de pañuelos a confeccionar. - $y$: número de corbatas a confeccionar. El objetivo es maximizar el beneficio económico total. Según el enunciado, cada pañuelo reporta $4$ euros y cada corbata $6$ euros. Por tanto, la **función objetivo** será: $$B(x, y) = 4x + 6y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente qué representa cada variable es el paso más importante en programación lineal. Asegúrate de que las unidades coincidan.

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas: 1. **Capacidad de trabajo:** El tiempo total no puede superar las 60 horas. Si cada pañuelo tarda 2h y cada corbata 3h: $$2x + 3y \le 60$$ 2. **Compromiso de producción:** El número de corbatas ($y$) más el doble de pañuelos ($2x$) debe ser al menos 28: $$y + 2x \ge 28$$ 3. **Restricciones lógicas:** No se pueden fabricar cantidades negativas de prendas: $$x \ge 0$$ $$y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} 2x + 3y \le 60 \\ 2x + y \ge 28 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La frase "como mínimo" se traduce como $\ge$ y "máximo" o "no superar" como $\le$.

Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano correspondiente: - **Recta $r_1$ ($2x + 3y = 60$):** Si $x=0, y=20$. Si $y=0, x=30$. Puntos: $(0, 20)$ y $(30, 0)$. - **Recta $r_2$ ($2x + y = 28$):** Si $x=0, y=28$. Si $y=0, x=14$. Puntos: $(0, 28)$ y $(14, 0)$. Buscamos el punto de intersección entre $r_1$ y $r_2$ resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 2x + 3y = 60 \\ 2x + y = 28 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x + 3y) - (2x + y) = 60 - 28 \implies 2y = 32 \implies y = 16$. Sustituyendo $y=16$ en la segunda: $2x + 16 = 28 \implies 2x = 12 \implies x = 6$. El punto de corte es $(6, 16)$. Analizando los semiplanos, observamos que la región factible es el polígono con vértices en $(14, 0)$, $(30, 0)$ y $(6, 16)$.

Calculamos el beneficio en cada uno de los vértices de la región factible: 1. **Vértice $A(14, 0)$:** $$B(14, 0) = 4(14) + 6(0) = 56 \text{ euros}$$ 2. **Vértice $B(30, 0)$:** $$B(30, 0) = 4(30) + 6(0) = 120 \text{ euros}$$ 3. **Vértice $C(6, 16)$:** $$B(6, 16) = 4(6) + 6(16) = 24 + 96 = 120 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** Cuando el valor máximo se repite en dos vértices adyacentes, significa que todos los puntos del segmento que los une también son soluciones óptimas.

Observamos que el beneficio máximo es de **120 euros** y se alcanza tanto en el punto $(30, 0)$ como en el punto $(6, 16)$. Esto ocurre porque la función objetivo $B(x, y) = 4x + 6y$ tiene la misma pendiente que la restricción $2x + 3y = 60$ (ambas tienen una pendiente de $-2/3$ si despejamos $y$). Por tanto, cualquier combinación de pañuelos y corbatas situada en el segmento que une $(6, 16)$ y $(30, 0)$ que dé como resultado números enteros será una solución válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe confeccionar 30 pañuelos y 0 corbatas, o 6 pañuelos y 16 corbatas (o cualquier punto entero del segmento que los une) para un beneficio de 120€}}$$