Derivadas y recta tangente a una parábola

**a) (1 punto) Calcule la derivada de las funciones $f(x) = x \cdot \ln(x)$ y $g(x) = \frac{e^{3x}}{x^4 + 1}$** Para la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$, aplicamos la **regla del producto**: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. Identificamos las partes: - $u = x \implies u' = 1$ - $v = \ln(x) \implies v' = \frac{1}{x}$ Derivamos: $$f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}$$ $$f'(x) = \ln(x) + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$ y que al multiplicar $x \cdot \frac{1}{x}$ el resultado es $1$ para cualquier $x$ en el dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \ln(x) + 1}$$

Para la función $g(x) = \frac{e^{3x}}{x^4 + 1}$, aplicamos la **regla del cociente**: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Identificamos las partes y sus derivadas: - Numerador: $u = e^{3x} \implies u' = 3e^{3x}$ (aplicando la regla de la cadena para la exponencial). - Denominador: $v = x^4 + 1 \implies v' = 4x^3$. Aplicamos la fórmula: $$g'(x) = \frac{(3e^{3x}) \cdot (x^4 + 1) - (e^{3x}) \cdot (4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$$ Podemos simplificar sacando factor común $e^{3x}$ en el numerador: $$g'(x) = \frac{e^{3x} \cdot [3(x^4 + 1) - 4x^3]}{(x^4 + 1)^2}$$ $$g'(x) = \frac{e^{3x} \cdot (3x^4 - 4x^3 + 3)}{(x^4 + 1)^2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{e^{3x}(3x^4 - 4x^3 + 3)}{(x^4 + 1)^2}}$$

**b) (1.5 puntos) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = x^2 + 6x + 5$ en el punto de abscisa $x = -2$. Represente gráficamente la función $h$ y la recta tangente hallada.** Para hallar la ecuación de la recta tangente necesitamos un punto $(x_0, y_0)$ y la pendiente $m$. 1. **Hallar la ordenada $y_0$:** Sustituimos $x = -2$ en la función original $h(x)$: $$y_0 = h(-2) = (-2)^2 + 6(-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$$ El punto de tangencia es **$P(-2, -3)$**. 2. **Hallar la pendiente $m$:** Calculamos la derivada $h'(x)$ y evaluamos en $x = -2$: $$h'(x) = 2x + 6$$ $$m = h'(-2) = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto.

Utilizamos la ecuación en forma **punto-pendiente**: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos $x_0 = -2$, $y_0 = -3$ y $m = 2$: $$y - (-3) = 2(x - (-2))$$ $$y + 3 = 2(x + 2)$$ $$y + 3 = 2x + 4$$ $$y = 2x + 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2x + 1}$$

Para representar la función $h(x) = x^2 + 6x + 5$ (una parábola) y la recta $y = 2x + 1$, identificamos puntos clave: **Parábola $h(x)$:** - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2} = -3$. La ordenada es $h(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Vértice en **$(-3, -4)$**. - **Puntos de corte eje X:** $x^2 + 6x + 5 = 0 \implies (x+5)(x+1) = 0 \implies x = -5, x = -1$. - **Punto de corte eje Y:** $h(0) = 5$. **Recta tangente:** - Pasa por el punto de tangencia **$(-2, -3)$**. - Corte eje Y en $(0, 1)$.