Probabilidad Total y Teorema de Bayes: Rendimiento escolar

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que supere todas las asignaturas?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: El estudiante elegido es un chico. - $M$: El estudiante elegido es una chica. - $S$: El estudiante supera todas las asignaturas. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(H) = 48\% = 0.48$ - Como solo hay chicos y chicas, $P(M) = 1 - 0.48 = 0.52$ (el 52% restante). - Probabilidad de superar asignaturas si es chico: $P(S|H) = 85\% = 0.85$ - Probabilidad de superar asignaturas si es chica: $P(S|M) = 82\% = 0.82$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo, la suma de las probabilidades de las ramas que salen debe ser igual a 1 (o 100%). Por ejemplo, $P(H) + P(M) = 0.48 + 0.52 = 1$.

Para calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar supere todas las asignaturas, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso $S$ puede ocurrir por dos caminos: que sea chico y supere las asignaturas, o que sea chica y las supere: $$P(S) = P(H) \cdot P(S|H) + P(M) \cdot P(S|M)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(S) = 0.48 \cdot 0.85 + 0.52 \cdot 0.82$$ $$P(S) = 0.408 + 0.4264$$ $$P(S) = 0.8344$$ 💡 **Tip:** Multiplica las probabilidades a lo largo de cada rama para obtener la probabilidad de la intersección y suma los resultados de los caminos favorables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.8344}$$ La probabilidad de que un estudiante supere todas las asignaturas es del **83.44%**.

**b) (1 punto) Si ha superado todas las asignaturas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: sabemos que el suceso $S$ ya ha ocurrido y queremos saber la probabilidad de que el estudiante sea una chica ($M$). Esto se resuelve mediante el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{P(M) \cdot P(S|M)}{P(S)}$$ Ya conocemos todos los datos: - Probabilidad de ser chica y superar asignaturas: $P(M \cap S) = 0.52 \cdot 0.82 = 0.4264$ - Probabilidad total de superar asignaturas (calculada en el apartado anterior): $P(S) = 0.8344$ Calculamos el cociente: $$P(M|S) = \frac{0.4264}{0.8344} \approx 0.511025$$ Redondeando a tres o cuatro decimales: $$P(M|S) \approx 0.511$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (ser chica) dado un 'efecto' observado (superar las asignaturas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) \approx 0.511}$$ Si sabemos que el estudiante ha aprobado todo, hay una probabilidad aproximada del **51.1%** de que sea una chica.