Estimación de la media y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo al 95% de confianza para estimar el peso medio de las ciruelas de esa variedad.** En primer lugar, identificamos la variable aleatoria $X$ y los parámetros de la distribución normal proporcionados por el enunciado: - $X$: "Peso de una ciruela en gramos". - La población sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 3$. - Tamaño de la muestra: $n = 25$. - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 60$. 💡 **Tip:** En los problemas de estimación por intervalos de confianza para la media, es fundamental distinguir entre la media de la población $\mu$ (desconocida) y la media de la muestra $\bar{x}$ (conocida). $$\boxed{\sigma = 3, \quad n = 25, \quad \bar{x} = 60}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0.95 = 0.05$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor correspondiente es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: $1.645$ para el $90\%$, $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$. Conviene memorizarlos para agilizar los cálculos.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{3}{\sqrt{25}} = 1.96 \cdot \frac{3}{5} = 1.96 \cdot 0.6 = 1.176$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral: - Extremo inferior: $60 - 1.176 = 58.824$. - Extremo superior: $60 + 1.176 = 61.176$. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (58.824, 61.176)}$$

**b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar, para que al estimar el peso medio de esa variedad de ciruelas con un nivel de confianza del 99%, el error cometido sea inferior a 1 gramo.** Para el nivel de confianza del $99\%$, tenemos $1 - \alpha = 0.99$: 1. $\alpha = 0.01$. 2. $\alpha/2 = 0.005$. 3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. En la tabla de la normal, el valor $0.995$ se encuentra exactamente entre $2.57$ y $2.58$. Por tanto, tomamos la media: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, se suele interpolar o tomar el valor más próximo. Para $0.995$, el estándar es usar $2.575$.

El error $E$ viene dado por la expresión: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que el error sea inferior a $1$ gramo ($E \lt 1$), por lo que planteamos la inecuación: $$2.575 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$2.575 \cdot 3 \lt \sqrt{n} \implies 7.725 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$n \gt (7.725)^2 \implies n \gt 59.675625$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, el primer valor que cumple la condición es $60$. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 60 \text{ ciruelas}}$$