Ecuación matricial y dimensiones de matrices

**a) (0.5 puntos) Razone qué dimensiones deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que los productos $(A \cdot P \cdot B^t)$ y $(Q \cdot A \cdot C)$ den como resultado una matriz cuadrada.** Recordemos que para multiplicar dos matrices $M_{m \times n}$ y $N_{n \times p}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda, resultando una matriz de dimensiones $m \times p$. Las dimensiones dadas son: $A_{2 \times 2}$, $B_{2 \times 3}$ (por lo que $B^t_{3 \times 2}$) y $C_{2 \times 3}$. 1. **Para el producto $(A \cdot P \cdot B^t)$:** Sea $P$ de dimensión $m \times n$. - Para que $A_{2 \times 2} \cdot P_{m \times n}$ sea posible: $m = 2$. El resultado es $(AP)_{2 \times n}$. - Para que $(AP)_{2 \times n} \cdot B^t_{3 \times 2}$ sea posible: $n = 3$. El resultado es $(APB^t)_{2 \times 2}$. Como una matriz $2 \times 2$ es cuadrada, **$P$ debe ser de dimensión $2 \times 3$**. 2. **Para el producto $(Q \cdot A \cdot C)$:** Sea $Q$ de dimensión $r \times s$. - Para que $Q_{r \times s} \cdot A_{2 \times 2}$ sea posible: $s = 2$. El resultado es $(QA)_{r \times 2}$. - Para que $(QA)_{r \times 2} \cdot C_{2 \times 3}$ sea posible: $2 = 2$ (ya se cumple). El resultado es $(QAC)_{r \times 3}$. - Para que la matriz resultante sea cuadrada, el número de filas $r$ debe ser igual al de columnas (3), por tanto: $r = 3$. Así, **$Q$ debe ser de dimensión $3 \times 2$**. 💡 **Tip:** Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \in \mathcal{M}_{2 \times 3}, \quad Q \in \mathcal{M}_{3 \times 2}}$$

**b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X - 2B \cdot C^t = A^2$** Primero, aislamos el término que contiene a $X$ sumando $2B \cdot C^t$ en ambos lados: $$A \cdot X = A^2 + 2B \cdot C^t$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (A^2 + 2B \cdot C^t)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot (A^2 + 2B \cdot C^t)$$ $$X = A^{-1} \cdot A^2 + A^{-1} \cdot 2B \cdot C^t$$ Como $A^{-1} \cdot A^2 = A$, simplificamos la expresión: $$X = A + 2 A^{-1} \cdot B \cdot C^t$$ O más sencillo para el cálculo por pasos: $$\mathbf{X = A^{-1} \cdot (A^2 + 2B \cdot C^t)}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores importa. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + 2(-3) & (-1)(2) + 2(4) \\ (-3)(-1) + 4(-3) & (-3)(2) + 4(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -9 & 10 \end{pmatrix}$$ Calculamos $B \cdot C^t$. Primero obtenemos $C^t = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$: $$B \cdot C^t = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+0+1 & -2-2-1 \\ 9+0+2 & 6+0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el término $A^2 + 2B \cdot C^t$: $$A^2 + 2(BC^t) = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -9 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -10 \\ 22 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -4 \\ 13 & 18 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $D = \begin{pmatrix} -9 & -4 \\ 13 & 18 \end{pmatrix}$.

Para hallar $A^{-1}$, calculamos primero su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4) - (2)(-3) = -4 + 6 = 2$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = 4$ - $A_{12} = -(-3) = 3$ - $A_{21} = -(2) = -2$ - $A_{22} = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz de adjuntos: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede agilizar: intercambia elementos de la diagonal principal, cambia el signo de la secundaria y divide por el determinante.

Sustituimos en $X = A^{-1} \cdot D$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & -4 \\ 13 & 18 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de las matrices: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (4)(-9) + (-2)(13) & (4)(-4) + (-2)(18) \\ (3)(-9) + (-1)(13) & (3)(-4) + (-1)(18) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -36 - 26 & -16 - 36 \\ -27 - 13 & -12 - 18 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -62 & -52 \\ -40 & -30 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por el escalar $\frac{1}{2}$: $$X = \begin{pmatrix} -31 & -26 \\ -20 & -15 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -31 & -26 \\ -20 & -15 \end{pmatrix}}$$