Cálculo de parámetros y asíntotas de una función racional

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores de $a$ y $b$, sabiendo que $f(-1) = 1$ y que en el punto de abscisa $x = 0$ la recta tangente a la gráfica de $f$ es paralela a la recta $y = 2x + 1$.** Empezamos utilizando el dato del valor de la función en $x = -1$. Sustituimos en la expresión de $f(x)$: $$f(-1) = \frac{a(-1)}{b(-1) + 1} = \frac{-a}{-b + 1}$$ Como el enunciado nos dice que $f(-1) = 1$, igualamos: $$\frac{-a}{-b + 1} = 1 \implies -a = -b + 1 \implies a = b - 1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dan un punto $(x_0, y_0)$ de la gráfica, simplemente sustituimos $x$ por $x_0$ e igualamos el resultado a $y_0$.

El enunciado indica que en $x = 0$ la recta tangente es paralela a $y = 2x + 1$. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de nuestra tangente es $m = 2$. Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en dicho punto: $f'(0) = 2$. Calculamos la derivada de $f(x) = \frac{ax}{bx + 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(a) \cdot (bx + 1) - (ax) \cdot (b)}{(bx + 1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{abx + a - abx}{(bx + 1)^2} = \frac{a}{(bx + 1)^2}$$ Ahora evaluamos en $x = 0$ e igualamos a 2: $$f'(0) = \frac{a}{(b \cdot 0 + 1)^2} = \frac{a}{1^2} = a$$ Por lo tanto: $$\boxed{a = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Una vez obtenido el valor de $a$, lo sustituimos en la **Ecuación 1** para hallar $b$: $$a = b - 1 \implies 2 = b - 1 \implies b = 2 + 1$$ $$\boxed{b = 3}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 3}$$

**b) (1 punto) Para $a = b = 1$, halle la ecuación de sus asíntotas.** Sustituimos los valores en la función: $f(x) = \frac{x}{x + 1}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos los valores que anulan el denominador: $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Comprobamos el límite: $$\lim_{x \to -1} \frac{x}{x + 1} = \frac{-1}{0} = \pm\infty$$ Por lo tanto, existe una asíntota vertical en: $$\boxed{x = -1}$$ 💡 **Tip:** Para que haya una asíntota vertical en $x=c$, el límite debe ser infinito. En funciones racionales, esto ocurre normalmente en los puntos que anulan el denominador y no el numerador.

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x + 1}$$ Como los grados del numerador y denominador son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$$ Existe una asíntota horizontal en: $$\boxed{y = 1}$$ **Asíntotas Oblicuas (AO):** Como existe asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, \quad \text{AH: } y = 1, \quad \text{AO: No hay}}$$