Cálculo de probabilidades y sucesos independientes

**a) (0.5 puntos) Se sabe que $P(A) = 0.5, P(A \cup B) = 0.7$ y $P(A \cap B) = 0.4$. Halle la probabilidad de que ocurra $B$.** Para resolver este apartado, utilizamos la relación fundamental entre la unión y la intersección de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos en la ecuación: $$0.7 = 0.5 + P(B) - 0.4$$ Operamos para despejar $P(B)$: $$0.7 = 0.1 + P(B)$$ $$P(B) = 0.7 - 0.1 = 0.6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión de dos sucesos siempre resta la intersección para no contar dos veces los elementos comunes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.6}$$

**b) (1 punto) Se sabe que $P(C) = 0.4, P(D) = 0.3$ y $P(C \cup D) = 0.5$. Halle la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que no ocurre $D$.** Nos piden calcular $P(C | \bar{D})$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(C | \bar{D}) = \frac{P(C \cap \bar{D})}{P(\bar{D})}$$ Primero, necesitamos hallar $P(C \cap D)$ a través de la fórmula de la unión: $$P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)$$ $$0.5 = 0.4 + 0.3 - P(C \cap D)$$ $$0.5 = 0.7 - P(C \cap D) \implies P(C \cap D) = 0.7 - 0.5 = 0.2$$ Ahora calculamos los elementos de nuestra fracción: 1. **Probabilidad de que no ocurra D:** $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.3 = 0.7$$ 2. **Probabilidad de que ocurra C y no ocurra D:** $$P(C \cap \bar{D}) = P(C) - P(C \cap D) = 0.4 - 0.2 = 0.2$$ 💡 **Tip:** La propiedad $P(C \cap \bar{D}) = P(C) - P(C \cap D)$ es muy útil para representar la región de $C$ que no se solapa con $D$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C | \bar{D}) = \frac{P(C \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{0.2}{0.7}$$ Expresamos el resultado como una fracción irreducible: $$P(C | \bar{D}) = \frac{2}{7} \approx 0.2857$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C | \bar{D}) = \frac{2}{7}}$$

**c) (1 punto) Se sabe que los sucesos $E$ y $F$ son independientes, que $P(E) = 0.6$ y que $P(F) = 0.8$. Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.** Que no ocurra ninguno de los dos sucesos se representa como $P(\bar{E} \cap \bar{F})$. Sabemos que si dos sucesos $E$ y $F$ son independientes, sus contrarios $\bar{E}$ y $\bar{F}$ también lo son. Por tanto: $$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{F})$$ Calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios: $$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0.6 = 0.4$$ $$P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0.8 = 0.2$$ Multiplicamos ambos resultados: $$P(\bar{E} \cap \bar{F}) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08$$ 💡 **Tip:** También podrías resolverlo usando las leyes de De Morgan: $P(\bar{E} \cap \bar{F}) = P(\overline{E \cup F}) = 1 - P(E \cup F)$. Como son independientes, $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$, lo que permite hallar la unión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{E} \cap \bar{F}) = 0.08}$$