Inferencia estadística: Proporciones e Intervalos de Confianza

**a) (1.5 puntos) Calcule el intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usa esa red social con un nivel de confianza del 95%.** En primer lugar, extraemos la información proporcionada por la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $500$ - Número de jóvenes que usan la red social ($x$): $410$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ (éxitos entre el total): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{410}{500} = 0.82$$ Calculamos la proporción complementaria $\hat{q}$ (fracasos): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.82 = 0.18$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador que tenemos para la proporción real de la población cuando esta es desconocida.

Para un nivel de confianza del $95\%$, el nivel de significación es $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. Repartimos este error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$$ Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, observamos que el valor que corresponde a $0.9750$ es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ ($90\%$), $1.96$ ($95\%$) y $2.575$ ($99\%$).

El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.82 \cdot 0.18}{500}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.1476}{500}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.0002952}$$ $$E \approx 1.96 \cdot 0.017181 \approx 0.033675$$ El intervalo de confianza es $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.82 - 0.0337, 0.82 + 0.0337) = (0.7863, 0.8537)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.7863, 0.8537)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que, con un nivel de confianza del 97%, el error máximo que se cometa al estimar la proporción de esa población sea inferior a 0.04.** Datos para este apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.82$ y $\hat{q} = 0.18$ - Error máximo permitido: $E \lt 0.04$ - Nivel de confianza: $97\% \implies 1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.03}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla de la Normal estándar, el valor más cercano a $0.9850$ es exactamente: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$

A partir de la fórmula del error, despejamos el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los datos: $$n \gt \frac{(2.17)^2 \cdot 0.82 \cdot 0.18}{(0.04)^2}$$ $$n \gt \frac{4.7089 \cdot 0.1476}{0.0016} = \frac{0.69503364}{0.0016} = 434.396025$$ Como el número de personas debe ser un número entero y el error debe ser estrictamente menor que $0.04$, debemos tomar el primer entero superior. 💡 **Tip:** Siempre que calcules un tamaño muestral $n$, si el resultado tiene decimales, redondea al alza para asegurar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 435 \text{ jóvenes}}$$