Optimización de la producción de figuras de vidrio

**1. (3,25 puntos) Un artesano de vidrio va a fabricar figuras de dos tipos durante la próxima semana: cisne y elefante... Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar el número de figuras de cada tipo que tiene que fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál es el valor de ese beneficio máximo?** Primero, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de figuras de tipo **cisne**. - $y$: número de figuras de tipo **elefante**. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el artesano gana 10 € por cada cisne y 8 € por cada elefante. Por tanto, la función objetivo $B(x, y)$ es: $$\boxed{f(x, y) = 10x + 8y}$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué te piden calcular (variables) y qué quieres optimizar (función objetivo).

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en desigualdades matemáticas: 1. **Restricción de vidrio:** Cada cisne usa 0,1 kg y cada elefante 0,2 kg. El máximo es 16 kg. $$0,1x + 0,2y \le 16$$ Para trabajar con números enteros, podemos multiplicar por 10: $x + 2y \le 160$. 2. **Restricción de tiempo:** Cada cisne requiere 30 min y cada elefante 20 min. El máximo son 40 horas. Convertimos las horas a minutos: $40 \times 60 = 2400$ minutos. $$30x + 20y \le 2400$$ Simplificando (dividiendo entre 10): $3x + 2y \le 240$. 3. **Relación entre figuras:** El número de cisnes ($x$) ha de ser menor o igual que el doble de elefantes ($y$). $$x \le 2y$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que todas las magnitudes de una misma restricción estén en las mismas unidades (por ejemplo, pasar las 40 horas a minutos).

Para hallar la solución, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible (zona donde se cumplen todas las condiciones): - $r_1: x + 2y = 160$ (Pasa por $(0, 80)$ y $(160, 0)$) - $r_2: 3x + 2y = 240$ (Pasa por $(0, 120)$ y $(80, 0)$) - $r_3: x = 2y$ (Pasa por $(0, 0)$ y $(60, 30)$) La región factible es el polígono sombreado cuyos vértices debemos calcular.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que se cruzan: - **Vértice A (Origen):** Intersección de los ejes, punto $(0, 0)$. - **Vértice B:** Intersección del eje $Y$ ($x=0$) con $x + 2y = 160$. $0 + 2y = 160 \implies y = 80$. Punto $\mathbf{(0, 80)}$. - **Vértice C:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. $$\begin{cases} x + 2y = 160 \\ 3x + 2y = 240 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3x - x) = (240 - 160) \implies 2x = 80 \implies x = 40$. Sustituyendo $x$: $40 + 2y = 160 \implies 2y = 120 \implies y = 60$. Punto $\mathbf{(40, 60)}$. - **Vértice D:** Intersección de $r_2$ y $r_3$. $$\begin{cases} 3x + 2y = 240 \\ x = 2y \end{cases}$$ Sustituyendo $x$: $3(2y) + 2y = 240 \implies 8y = 240 \implies y = 30$. Entonces $x = 2(30) = 60$. Punto $\mathbf{(60, 30)}$. 💡 **Tip:** Verifica siempre que los vértices hallados cumplen el resto de restricciones. Por ejemplo, en $D(60,30)$, comprobamos $r_1$: $60 + 2(30) = 120 \le 160$. Es correcto.

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 10x + 8y$ en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el máximo: $$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Vértice } (x, y) & f(x, y) = 10x + 8y \\ \hline A(0, 0) & 10(0) + 8(0) = 0 \text{ €} \\ B(0, 80) & 10(0) + 8(80) = 640 \text{ €} \\ C(40, 60) & 10(40) + 8(60) = 400 + 480 = 880 \text{ €} \\ D(60, 30) & 10(60) + 8(30) = 600 + 240 = 840 \text{ €} \\ \hline \end{array} $$ El valor máximo se alcanza en el punto $(40, 60)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe fabricar 40 cisnes y 60 elefantes para un beneficio máximo de 880 euros.}}$$