Continuidad, optimización e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Calcular $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es continua en todos los puntos** Para que la función sea continua en todos los puntos, debe serlo especialmente en los puntos de salto entre ramas ($x = -2$, $x = 0$ y $x = 4$). Empezamos analizando el punto **$x = 0$** para hallar $b$, ya que en este salto intervienen la segunda y tercera rama: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x + b) = b$ 2. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (2x + 1) = 2(0) + 1 = 1$ 3. $f(0) = 1$ Para que sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben ser iguales: $$\boxed{b = 1}$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Ahora analizamos el punto **$x = -2$** utilizando el valor de $b=1$ hallado anteriormente: 1. $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2} (ax + 1) = -2a + 1$ 2. $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2} (x + b) = -2 + 1 = -1$ 3. $f(-2) = -1$ Igualamos los límites laterales para asegurar la continuidad: $$-2a + 1 = -1 \implies -2a = -2 \implies a = 1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$ *(Nota: Aunque el enunciado indica que es continua en todos los puntos, se observa que en $x=4$ existe un salto finito de valor 11, ya que $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 9$ y $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 20$. No obstante, los valores solicitados para los parámetros son $a=1$ y $b=1$).*

**b) (1,5 puntos) Calcular el mínimo valor que toma la función $f$ para $x \in [3, 8]$.** El intervalo $[3, 8]$ abarca dos ramas de la función: - Para $x \in [3, 4)$, la función es $f(x) = 2x + 1$. - Para $x \in [4, 8]$, la función es $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 4$. Estudiaremos el comportamiento en cada intervalo para encontrar el mínimo absoluto. **Rama 3: $x \in [3, 4)$** Como $f(x) = 2x + 1$ es una recta con pendiente positiva, la función es estrictamente creciente. El valor más pequeño se alcanza en el extremo izquierdo: $$f(3) = 2(3) + 1 = 7$$

**Rama 4: $x \in [4, 8]$** Analizamos $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 4$ mediante su derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$3x^2 - 18x + 24 = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = 2$$ Como el intervalo de esta rama empieza en $x=4$, evaluamos la función en los extremos del intervalo $[4, 8]$: - $f(4) = 4^3 - 9(4^2) + 24(4) + 4 = 64 - 144 + 96 + 4 = 20$ - $f(8) = 8^3 - 9(8^2) + 24(8) + 4 = 512 - 576 + 192 + 4 = 132$ Como $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in (4, 8)$, la función es creciente en este tramo.

Comparamos los valores obtenidos en todo el intervalo $[3, 8]$: - En el primer tramo $[3, 4)$, el valor mínimo es **7** (en $x=3$). - En el segundo tramo $[4, 8]$, el valor mínimo es **20** (en $x=4$). Por tanto, el valor mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado $[3, 8]$ es 7. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Mínimo: } 7 \text{ (alcanzado en } x = 3)}$$

**c) (0,75 puntos) Calcular $\int_{1}^{2} f(x) dx$** Primero identificamos qué rama de la función corresponde al intervalo de integración $[1, 2]$. Según la definición de $f(x)$, para $0 \leq x \lt 4$, la función es: $$f(x) = 2x + 1$$ Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$F(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$$ $$F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$$ Restamos los valores: $$\int_{1}^{2} f(x) dx = 6 - 2 = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado del apartado c):** $$\boxed{4}$$