Probabilidad en lanzamientos de balones

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos para cada lanzamiento: - $E_i$: Encestar el lanzamiento $i$ ($i=1, 2$). - $F_i$: Fallar el lanzamiento $i$ ($i=1, 2$). El enunciado nos da las probabilidades: $P(E_1) = 0,3 \implies P(F_1) = 1 - 0,3 = 0,7$ $P(E_2) = 0,3 \implies P(F_2) = 1 - 0,3 = 0,7$ Como los lanzamientos son **independientes**, la probabilidad de lo que ocurra en el segundo no depende del primero. Representamos la situación con un diagrama de árbol:

**a) (0,75 puntos) ¿Qué probabilidad tiene Luis de encestar los dos lanzamientos?** Este suceso corresponde a encestar el primero **y** encestar el segundo ($E_1 \cap E_2$). Al ser sucesos independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades: $$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2)$$ Sustituimos los valores: $$P(E_1 \cap E_2) = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son independientes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{encestar los dos}) = 0,09}$$

**b) (1 punto) ¿Qué probabilidad tiene Luis de ganar el premio?** Luis gana el premio si encesta **al menos un** lanzamiento. Esto puede ocurrir de tres formas: (Encesta el 1º y falla el 2º), (Falla el 1º y encesta el 2º) o (Encesta ambos). Sin embargo, es mucho más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario**. El contrario de "encestar al menos uno" es "no encestar ninguno" (fallar los dos). $$P(\text{Ganar}) = 1 - P(\text{Falla los dos}) = 1 - P(F_1 \cap F_2)$$ Calculamos la probabilidad de fallar ambos: $$P(F_1 \cap F_2) = P(F_1) \cdot P(F_2) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(\text{Ganar}) = 1 - 0,49 = 0,51$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno", casi siempre es más rápido usar $P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Ganar}) = 0,51}$$

**c) (1 punto) Si Luis ha ganado el premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado el primer lanzamiento?** Estamos ante una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(F_1 | \text{Ganar})$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(F_1 | \text{Ganar}) = \frac{P(F_1 \cap \text{Ganar})}{P(\text{Ganar})}$$ El numerador $P(F_1 \cap \text{Ganar})$ representa la probabilidad de que Luis falle el primer lanzamiento y, aun así, gane el premio. Para ganar habiendo fallado el primero, obligatoriamente debe haber encestado el segundo: $$P(F_1 \cap \text{Ganar}) = P(F_1 \cap E_2) = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21$$ Sustituimos en la fórmula con el valor de $P(\text{Ganar}) = 0,51$ obtenido en el apartado anterior: $$P(F_1 | \text{Ganar}) = \frac{0,21}{0,51} = \frac{21}{51}$$ Simplificamos dividiendo entre 3: $$\frac{21}{51} = \frac{7}{17} \approx 0,4118$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad condicionada es $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F_1 | \text{Ganar}) = \frac{7}{17} \approx 0,4118}$$

**d) (0,75 puntos) Sea $A$ el suceso "Luis falla el primer lanzamiento" y $B$ el suceso "Luis gana el premio". ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos cada parte por separado: 1. **Probabilidad de $A$:** Es fallar el primero, $P(A) = P(F_1) = 0,7$. 2. **Probabilidad de $B$:** Es ganar el premio, $P(B) = 0,51$ (calculado en b). 3. **Probabilidad de la intersección $A \cap B$:** Es fallar el primero y ganar el premio, que es $P(F_1 \cap E_2) = 0,21$ (calculado en c). Comprobamos el producto: $$P(A) \cdot P(B) = 0,7 \cdot 0,51 = 0,357$$ Comparamos los resultados: $$0,21 \neq 0,357$$ Como $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** También podrías comprobarlo viendo si $P(A|B) = P(A)$. En este caso $\frac{7}{17} \approx 0,41$ es distinto de $P(A) = 0,7$, lo que confirma que son dependientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ no son independientes}}$$