Operaciones con matrices, ecuaciones matriciales e inversa

**a) (1 punto) Calcular $(AB)^2$.** Primero debemos calcular el producto de las matrices $A$ y $B$. Recordamos que el elemento de la fila $i$ y columna $j$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 0-1+2 & 0+1+3 & 0+2+4 \\ 1+0+4 & 0+0+6 & 1+0+8 \\ 1-1+6 & 0+1+9 & 1+2+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 9 \\ 6 & 10 & 15 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Revisa con cuidado cada multiplicación. Por ejemplo, para el elemento $c_{11}$: $(0 \cdot 1) + (1 \cdot (-1)) + (1 \cdot 2) = 1$.

Ahora calculamos $(AB)^2$ multiplicando la matriz resultante por sí misma: $(AB)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 9 \\ 6 & 10 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 9 \\ 6 & 10 & 15 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 1+20+36 & 4+24+60 & 6+36+90 \\ 5+30+54 & 20+36+90 & 30+54+135 \\ 6+50+90 & 24+60+150 & 36+90+225 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57 & 88 & 132 \\ 89 & 146 & 219 \\ 146 & 234 & 351 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(AB)^2 = \begin{pmatrix} 57 & 88 & 132 \\ 89 & 146 & 219 \\ 146 & 234 & 351 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Encontrar, si existe, una matriz $X$ tal que $2A + 3X = 4C$.** Primero, despejamos algebraicamente la matriz $X$ de la ecuación: $3X = 4C - 2A$ $X = \frac{1}{3}(4C - 2A)$ Calculamos primero $4C$ y $2A$: $4C = 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 \\ -4 & 4 & 8 \\ 12 & 16 & 4 \end{pmatrix}$ $2A = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 6 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Al multiplicar un número por una matriz, se multiplican todos sus elementos.

Restamos las matrices obtenidas: $4C - 2A = \begin{pmatrix} 4-0 & 0-2 & -4-2 \\ -4-2 & 4-0 & 8-4 \\ 12-2 & 16-2 & 4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -6 \\ -6 & 4 & 4 \\ 10 & 14 & -2 \end{pmatrix}$ Finalmente, multiplicamos por $\frac{1}{3}$: $X = \begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 & -2 \\ -2 & 4/3 & 4/3 \\ 10/3 & 14/3 & -2/3 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{2}{3} & -2 \\ -2 & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} \\ \frac{10}{3} & \frac{14}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}}$$

**c) (1,25 puntos) Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$.** Para que exista la matriz inversa, el determinante de $D$ debe ser distinto de cero ($|D| \neq 0$). Lo calculamos mediante la regla de Sarrus: $|D| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -6 & 1 & 3 \end{vmatrix} = [ (2 \cdot 1 \cdot 3) + (-1 \cdot 0 \cdot -6) + (-2 \cdot 2 \cdot 1) ] - [ (-2 \cdot 1 \cdot -6) + (0 \cdot 1 \cdot 2) + (3 \cdot 2 \cdot -1) ]$ $|D| = [ 6 + 0 - 4 ] - [ 12 + 0 - 6 ] = 2 - 6 = -4$ Como $|D| = -4 \neq 0$, la matriz $D$ es **invertible**.

Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o traspuesta de la adjunta) usando la fórmula $D^{-1} = \frac{1}{|D|} \text{Adj}(D^t)$. Primero, la traspuesta $D^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -6 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Calculamos los adjuntos de $D^t$: $A_{11} = 3, A_{12} = 1, A_{13} = 2$ $A_{21} = -6, A_{22} = -6, A_{23} = -4$ $A_{31} = 8, A_{32} = 4, A_{33} = 4$ $\text{Adj}(D^t) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -6 & -6 & -4 \\ 8 & 4 & 4 \end{pmatrix}$ Finalmente: $D^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -6 & -6 & -4 \\ 8 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3/4 & -1/4 & -1/2 \\ 3/2 & 3/2 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 1 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}}$$