Cuota de pantalla de un programa de televisión

**a) (0,75 puntos) Encontrar los valores de tiempo, si los hubo, en los que la cuota de pantalla fue igual a 18.** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de cuota de pantalla $f(t)$ al valor 18 y resolver la ecuación para $t$: $$\frac{1}{200}(-t^2 + 100t + 7500) = 18$$ Multiplicamos ambos lados por 200 para eliminar el denominador: $$-t^2 + 100t + 7500 = 3600$$ Pasamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$-t^2 + 100t + 3900 = 0 \implies t^2 - 100t - 3900 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$t = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 - 4(1)(-3900)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{100 \pm \sqrt{10000 + 15600}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{25600}}{2}$$ $$t = \frac{100 \pm 160}{2}$$ Obtenemos dos posibles soluciones: 1. $t_1 = \frac{260}{2} = 130$ 2. $t_2 = \frac{-60}{2} = -30$ 💡 **Tip:** Recuerda comprobar siempre si las soluciones pertenecen al dominio del problema. En este caso, el tiempo transcurre en el intervalo $[0, 120]$. Como tanto $130$ como $-30$ están fuera del intervalo $[0, 120]$, concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hubo ningún valor de tiempo en el que la cuota fuese igual a 18.}}$$

**b) (1,5 puntos) ¿En qué instantes de tiempo se alcanzaron la mínima y máxima cuotas de pantalla del programa? ¿Cuáles fueron dichas cuotas?** Al tratarse de una función continua en un intervalo cerrado $[0, 120]$, los extremos absolutos (máximo y mínimo) pueden encontrarse en los puntos críticos (donde $f'(t)=0$) o en los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=120$). Primero, calculamos la derivada de $f(t)$: $$f'(t) = \frac{1}{200}(-2t + 100)$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$\frac{1}{200}(-2t + 100) = 0 \implies -2t + 100 = 0 \implies t = 50$$ El valor $t=50$ pertenece al intervalo $[0, 120]$. 💡 **Tip:** Para funciones cuadráticas del tipo $f(x)=ax^2+bx+c$, el vértice se encuentra en $x = -b/(2a)$. Aquí, al ser una parábola con ramas hacia abajo ($a < 0$), el vértice será un máximo.

Analizamos el signo de la derivada para confirmar el comportamiento de la función: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,50) & 50 & (50,120)\\\hline f'(t) & + & 0 & -\\ f(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Calculamos ahora los valores de la cuota en los puntos candidatos: 1. En $t=0$: $$f(0) = \frac{1}{200}(0 + 0 + 7500) = \frac{7500}{200} = 37,5\%$$ 2. En $t=50$: $$f(50) = \frac{1}{200}(-(50)^2 + 100(50) + 7500) = \frac{1}{200}(-2500 + 5000 + 7500) = \frac{10000}{200} = 50\%$$ 3. En $t=120$: $$f(120) = \frac{1}{200}(-(120)^2 + 100(120) + 7500) = \frac{1}{200}(-14400 + 12000 + 7500) = \frac{5100}{200} = 25,5\%$$ Comparando los valores, el valor máximo es $50$ y el mínimo es $25,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima: 50\% en } t=50 \text{ min. Mínima: 25,5\% en } t=120 \text{ min.}}$$

**c) (1 punto) Calcular: $\int_{10}^{20} f(t) dt$** Planteamos la integral de la función: $$\int_{10}^{20} \frac{1}{200}(-t^2 + 100t + 7500) dt = \frac{1}{200} \int_{10}^{20} (-t^2 + 100t + 7500) dt$$ Calculamos la primitiva (integral indefinida): $$F(t) = \frac{1}{200} \left[ -\frac{t^3}{3} + \frac{100t^2}{2} + 7500t \right] = \frac{1}{200} \left[ -\frac{t^3}{3} + 50t^2 + 7500t \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites 10 y 20: Evaluamos en $t=20$: $$F(20) = \frac{1}{200} \left( -\frac{8000}{3} + 50(400) + 7500(20) \right) = \frac{1}{200} \left( -\frac{8000}{3} + 20000 + 150000 \right)$$ $$F(20) = \frac{1}{200} \left( \frac{-8000 + 510000}{3} \right) = \frac{1}{200} \left( \frac{502000}{3} \right) = \frac{5020}{6} = \frac{2510}{3}$$ Evaluamos en $t=10$: $$F(10) = \frac{1}{200} \left( -\frac{1000}{3} + 50(100) + 7500(10) \right) = \frac{1}{200} \left( -\frac{1000}{3} + 5000 + 75000 \right)$$ $$F(10) = \frac{1}{200} \left( \frac{-1000 + 240000}{3} \right) = \frac{1}{200} \left( \frac{239000}{3} \right) = \frac{2390}{6} = \frac{1195}{3}$$ Restamos los valores: $$\int_{10}^{20} f(t) dt = \frac{2510}{3} - \frac{1195}{3} = \frac{1315}{3} \approx 438,33$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{10}^{20} f(t) dt = \frac{1315}{3} \approx 438,33}$$