Probabilidad y estimación de la proporción

**a) (1 punto) En un instituto hay 335 estudiantes de Bachillerato, 195 de los cuales están en primer curso y 140 están en segundo curso. Se eligen al azar dos estudiantes distintos de entre estos 335. ¿Cuál es la probabilidad de que estén en el mismo curso?** Definimos los eventos para la elección de los estudiantes: - $C_1$: El estudiante elegido es de primer curso. - $C_2$: El estudiante elegido es de segundo curso. Como se eligen dos estudiantes **distintos**, estamos ante un experimento de muestreo sin reemplazamiento. Esto significa que la probabilidad del segundo estudiante depende de quién fue el primero, ya que el número total de alumnos disminuye en uno. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En experimentos sin reemplazamiento, recuerda restar una unidad tanto al numerador como al denominador para la segunda extracción si se repite el suceso.

Para que los dos estudiantes estén en el mismo curso, existen dos posibilidades exclusivas: 1. Que los dos sean de primero ($C_{1,1} \cap C_{1,2}$). 2. Que los dos sean de segundo ($C_{2,1} \cap C_{2,2}$). Calculamos la probabilidad total sumando ambas ramas del árbol: $$P(\text{Mismo curso}) = P(C_{1,1} \cap C_{1,2}) + P(C_{2,1} \cap C_{2,2})$$ $$P(\text{Mismo curso}) = \left( \frac{195}{335} \cdot \frac{194}{334} \right) + \left( \frac{140}{335} \cdot \frac{139}{334} \right)$$ Realizamos las operaciones: $$P(\text{Mismo curso}) = \frac{37830}{111890} + \frac{19460}{111890} = \frac{57290}{111890}$$ $$P(\text{Mismo curso}) \approx 0.5120$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Mismo curso}) \approx 0.5120}$$

**b) (2,5 puntos) En una encuesta sobre hábitos alimentarios en una ciudad se ha tomado una muestra de 300 individuos y se les ha preguntado si son vegetarianos. De los 300 individuos, 72 son vegetarianos y los 228 restantes no lo son. Calcular el intervalo de confianza al 94% para la proporción de personas de la ciudad que son vegetarianas.** Primero, extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Número de vegetarianos: $x = 72$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{72}{300} = 0.24$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.24 = 0.76$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para una proporción poblacional tiene la forma: $IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$

El nivel de confianza es del $94\%$, por lo tanto: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06$$ La significación repartida en dos colas es $\alpha/2 = 0.03$. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.03 = 0.97$$ Consultamos en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: Buscando el valor $0.97$ en el interior de la tabla, observamos que corresponde a un valor de $z$ entre $1.88$ y $1.89$. Tomamos el valor más cercano o interpolamos: $$z_{\alpha/2} = 1.88$$ (Nota: El valor exacto es aproximadamente $1.881$) 💡 **Tip:** Si el valor exacto de probabilidad no está en la tabla, toma el más cercano o haz la media entre los dos si la distancia es la misma.

El error viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.24 \cdot 0.76}{300}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.1824}{300}}$$ $$E = 1.88 \cdot \sqrt{0.000608}$$ $$E \approx 1.88 \cdot 0.024657 \approx 0.04635$$ Por tanto, el error es de aproximadamente **$0.04635$ (o $4.64\%$)**.

El intervalo se calcula restando y sumando el error a la proporción muestral: $$IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$$ $$IC = (0.24 - 0.04635, 0.24 + 0.04635)$$ $$IC = (0.19365, 0.28635)$$ Esto significa que, con una confianza del $94\%$, la verdadera proporción de vegetarianos en la ciudad se encuentra entre el **$19.37\%$** y el **$28.64\%$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{0.94} = (0.1937, 0.2864)}$$