Optimización de costes en una carpintería

Para resolver este problema de programación lineal, primero identificamos qué es lo que queremos decidir y qué queremos minimizar. **Definición de las variables:** - $x$: número de horas de trabajo de la fábrica $A$. - $y$: número de horas de trabajo de la fábrica $B$. **Función objetivo (Coste total):** Queremos minimizar el coste total de producción. Según el enunciado, la fábrica $A$ cuesta 1500 €/h y la $B$ cuesta 1000 €/h. $$f(x, y) = 1500x + 1000y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen responder a la pregunta "¿cuánto de cada cosa debo producir o utilizar?". En este caso, el número de horas de cada fábrica.

A partir de los datos de producción y los requisitos mínimos ("al menos"), planteamos las inecuaciones. Podemos organizar la información en una tabla: $$\begin{array}{l|cc|c} \text{Producto} & \text{Fábrica } A (x) & \text{Fábrica } B (y) & \text{Mínimo requerido} \\\hline \text{Sillas} & 1 & 4 & 80 \\ \text{Mesas} & 2 & 3 & 120 \\ \text{Taburetes} & 4 & 2 & 96 \\ \end{array}$$ **Restricciones del sistema:** 1. Sillas: $x + 4y \ge 80$ 2. Mesas: $2x + 3y \ge 120$ 3. Taburetes: $4x + 2y \ge 96$ 4. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ (no se pueden trabajar horas negativas). 💡 **Tip:** La expresión "al menos" se traduce siempre como el símbolo $\ge$.

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos la zona común que cumple todas las desigualdades. - $r_1: x + 4y = 80$. Puntos de corte: $(80, 0)$ y $(0, 20)$. - $r_2: 2x + 3y = 120$. Puntos de corte: $(60, 0)$ y $(0, 40)$. - $r_3: 4x + 2y = 96 \implies 2x + y = 48$. Puntos de corte: $(24, 0)$ y $(0, 48)$. Al ser todas de tipo $\ge$, la región factible es una región abierta (no acotada superiormente) situada por encima de estas rectas.

A continuación se muestra la región factible sombreada y los vértices que la delimitan.

Los vértices candidatos a ser la solución mínima son los puntos de intersección que limitan la región inferiormente: 1. **Vértice A:** Intersección de $r_3$ con el eje $Y$ ($x=0$): $x=0 \implies 4(0) + 2y = 96 \implies y = 48$. **$A(0, 48)$** 2. **Vértice B:** Intersección de $r_3$ y $r_2$: $$\begin{cases} 4x + 2y = 96 \implies y = 48 - 2x \\ 2x + 3y = 120 \end{cases}$$ Sustituyendo: $2x + 3(48 - 2x) = 120 \implies 2x + 144 - 6x = 120 \implies -4x = -24 \implies x = 6$. $y = 48 - 2(6) = 36$. **$B(6, 36)$** 3. **Vértice C:** Intersección de $r_2$ y $r_1$: $$\begin{cases} x + 4y = 80 \implies x = 80 - 4y \\ 2x + 3y = 120 \end{cases}$$ Sustituyendo: $2(80 - 4y) + 3y = 120 \implies 160 - 8y + 3y = 120 \implies -5y = -40 \implies y = 8$. $x = 80 - 4(8) = 48$. **$C(48, 8)$** 4. **Vértice D:** Intersección de $r_1$ con el eje $X$ ($y=0$): $y=0 \implies x + 4(0) = 80 \implies x = 80$. **$D(80, 0)$**

Evaluamos el coste $f(x, y) = 1500x + 1000y$ en cada vértice para encontrar el valor mínimo: - $f(0, 48) = 1500(0) + 1000(48) = 48\,000$ € - $f(6, 36) = 1500(6) + 1000(36) = 9\,000 + 36\,000 = 45\,000$ € - $f(48, 8) = 1500(48) + 1000(8) = 72\,000 + 8\,000 = 80\,000$ € - $f(80, 0) = 1500(80) + 1000(0) = 120\,000$ € El coste mínimo se produce en el punto $B(6, 36)$. ✅ **Solución final:** La fábrica **A debe trabajar 6 horas** y la fábrica **B debe trabajar 36 horas**. El valor del **coste mínimo es de 45.000 euros**. $$\boxed{\text{A: 6h, B: 36h; Coste: 45.000 €}}$$