Estudio completo de una función racional

**a) (0,25 puntos) Dominio de $f$.** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador, ya que no se puede dividir entre cero. Igualamos el denominador a cero: $$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$$ Por tanto, el dominio es todo $\mathbb{R}$ menos el valor $x = -1,5$. 💡 **Tip:** El dominio de $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}}$$

**b) (0,75 puntos) ¿Para qué valores de $x$ es la función positiva?** Para que $f(x) \gt 0$, debemos analizar el signo del numerador y del denominador de $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{2x + 3}$. 1. **Numerador:** Observemos que $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Como es un cuadrado perfecto, siempre es positivo o cero: $(x-1)^2 \ge 0$ para cualquier $x$. Se anula en $x = 1$. 2. **Denominador:** El signo de $2x + 3$ cambia en su raíz $x = -3/2$. - Si $x \lt -3/2$, el denominador es negativo. - Si $x \gt -3/2$, el denominador es positivo. Analizamos el cociente: - Si $x \in (-\infty, -3/2)$, $f(x) = \frac{+}{-} = \text{negativa}$. - Si $x \in (-3/2, 1)$, $f(x) = \frac{+}{+} = \text{positiva}$. - Si $x = 1$, $f(x) = 0$ (no es positiva). - Si $x \in (1, +\infty)$, $f(x) = \frac{+}{+} = \text{positiva}$. 💡 **Tip:** Para que una fracción sea positiva, numerador y denominador deben tener el mismo signo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in \left(-\frac{3}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)}$$

**c) (1 punto) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.** **Asíntotas verticales (AV):** Buscamos en los puntos que no pertenecen al dominio ($x = -3/2$): $$\lim_{x \to -3/2} \frac{x^2 - 2x + 1}{2x + 3} = \frac{(-1,5)^2 - 2(-1,5) + 1}{0} = \frac{6,25}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, hay una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -\frac{3}{2}}$$

**Asíntotas horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{2x + 3} = \infty$$ Al ser el grado del numerador (2) mayor que el del denominador (1), **no hay asíntota horizontal**. **Asíntotas oblicuas (AO):** Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{2x^2 + 3x} = \frac{1}{2}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 2x + 1}{2x + 3} - \frac{1}{2}x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2(x^2 - 2x + 1) - x(2x + 3)}{2(2x + 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 - 3x}{4x + 6}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 2}{4x + 6} = -\frac{7}{4}$$ 💡 **Tip:** Existe AO cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{4}}$$

**d) (1,25 puntos) Sus máximos y mínimos relativos, si existen.** Para hallar los extremos relativos, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $u = x^2 - 2x + 1 \implies u' = 2x - 2$ $v = 2x + 3 \implies v' = 2$ $$f'(x) = \frac{(2x - 2)(2x + 3) - (x^2 - 2x + 1)(2)}{(2x + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(4x^2 + 6x - 4x - 6) - (2x^2 - 4x + 2)}{(2x + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - 8}{(2x + 3)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$2x^2 + 6x - 8 = 0 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ Las soluciones son $x_1 = 1$ y $x_2 = -4$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y la asíntota vertical ($x = -1,5$). El denominador $(2x+3)^2$ siempre es positivo, así que el signo depende del numerador $2(x+4)(x-1)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -4) & -4 & (-4, -1,5) & -1,5 & (-1,5, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x = -4$: $f(-4) = \frac{(-4)^2 - 2(-4) + 1}{2(-4) + 3} = \frac{16 + 8 + 1}{-8 + 3} = \frac{25}{-5} = -5$. - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^2 - 2(1) + 1}{2(1) + 3} = \frac{0}{5} = 0$. 💡 **Tip:** Un punto es máximo si la función pasa de crecer a decrecer ($f'$ de $+$ a $-$), y mínimo si pasa de decrecer a crecer ($f'$ de $-$ a $+$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-4, -5) \quad \text{Mínimo relativo en } (1, 0)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x^2-2x+1}{2x+3}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=-1.5", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y=0.5x-1.75", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "max", "latex": "(-4,-5)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "Máximo" }, { "id": "min", "latex": "(1,0)", "color": "#000000", "showLabel": true, "label": "Mínimo" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -10, "top": 5 } } }