Probabilidad y Estadística 2018 Aragon
Probabilidad: Ventas de un concesionario
3. (3,5 puntos) Un concesionario se dedica a la venta de tres modelos de coches: $A$, $B$ y $C$. En el concesionario trabajan dos vendedores: María y Pedro. El mes pasado María realizó el 55% de las ventas y Pedro el 45% restante. Además, de las ventas de María, un 60% fueron del modelo $A$, un 30% del modelo $B$ y un 10% del modelo $C$. De las ventas de Pedro, un 50% fueron del modelo $A$, un 20% del modelo $B$ y un 30% del modelo $C$.
a) (0,75 puntos) Elegimos al azar una de las ventas realizadas el mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un coche del modelo $B$ vendido por María?
b) (1 punto) Elegimos al azar una de las ventas de mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del modelo $B$?
c) (1 punto) Elegimos al azar una de las ventas de modelo $B$ del mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una venta de María?
d) (0,75 puntos) Elegimos al azar (con reemplazamiento) dos ventas del mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea una venta de María?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
- $M$: La venta ha sido realizada por **María**.
- $P$: La venta ha sido realizada por **Pedro**.
- $A$: El coche vendido es del **modelo $A$**.
- $B$: El coche vendido es del **modelo $B$**.
- $C$: El coche vendido es del **modelo $C$**.
Organizamos los datos en un diagrama de árbol para visualizar las probabilidades:
Paso 2
Calcular la probabilidad de coche B vendido por María
**a) (0,75 puntos) Elegimos al azar una de las ventas realizadas el mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un coche del modelo $B$ vendido por María?**
Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser de María ($M$) y ser del modelo $B$ ($B$). Esto corresponde a seguir la rama superior del árbol:
$$P(M \cap B) = P(M) \cdot P(B|M)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(M \cap B) = 0,55 \cdot 0,30 = 0,165$$
💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección $P(M \cap B)$ es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M \cap B) = 0,165}$$
Paso 3
Calcular la probabilidad de que el coche sea del modelo B
**b) (1 punto) Elegimos al azar una de las ventas de mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del modelo $B$?**
Para calcular la probabilidad total de vender un modelo $B$, debemos sumar las probabilidades de que lo venda María y de que lo venda Pedro. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(B) = P(M \cap B) + P(P \cap B)$$
$$P(B) = P(M) \cdot P(B|M) + P(P) \cdot P(B|P)$$
Calculamos cada término:
- Por María: $0,55 \cdot 0,30 = 0,165$
- Por Pedro: $0,45 \cdot 0,20 = 0,090$
Sumamos:
$$P(B) = 0,165 + 0,090 = 0,255$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0,255}$$
Paso 4
Calcular la probabilidad de que sea de María sabiendo que es un modelo B
**c) (1 punto) Elegimos al azar una de las ventas de modelo $B$ del mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una venta de María?**
Este es un problema de **probabilidad condicionada** (Teorema de Bayes), ya que sabemos que el coche es de tipo $B$ y queremos saber la probabilidad de que la vendedora fuera María.
$$P(M|B) = \frac{P(M \cap B)}{P(B)}$$
Utilizamos los valores obtenidos en los apartados anteriores:
$$P(M|B) = \frac{0,165}{0,255}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(M|B) = \frac{165}{255} = \frac{11}{17} \approx 0,6471$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando nos dan información sobre el resultado final (modelo B) y nos preguntan por la causa original (vendedor).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|B) \approx 0,6471}$$
Paso 5
Calcular la probabilidad de que al menos una venta sea de María
**d) (0,75 puntos) Elegimos al azar (con reemplazamiento) dos ventas del mes pasado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea una venta de María?**
Al ser con reemplazamiento, las dos extracciones son sucesos **independientes**. La probabilidad de que una venta sea de María es $P(M) = 0,55$ y la de que no sea de María (que sea de Pedro) es $P(P) = 0,45$.
Es más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario:
- Suceso $X$: Al menos una venta es de María.
- Suceso contrario $\bar{X}$: Ninguna venta es de María (las dos son de Pedro).
$$P(\bar{X}) = P(P) \cdot P(P) = 0,45 \cdot 0,45 = 0,45^2 = 0,2025$$
Ahora, calculamos $P(X)$ usando la propiedad del complementario:
$$P(X) = 1 - P(\bar{X})$$
$$P(X) = 1 - 0,2025 = 0,7975$$
💡 **Tip:** Siempre que veas la frase "al menos uno", intenta resolverlo calculando la probabilidad de "ninguno" y restándola de 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{al menos una de María}) = 0,7975}$$