Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**1. (3,25 puntos) Discutir, según los valores de $a$, el sistema:** **$$\begin{cases} 2x + ay + az = 4 \\ -x + ay + z = a \\ x + y + az = 3 \end{cases}$$** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & a & a & 4 \\ -1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 3 \end{array}\right)$$ El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (3). 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a & a \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (2 \cdot a \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot (-1) \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (a \cdot (-1) \cdot a)]$$ $$|A| = 2a^2 + a - a - [a^2 + 2 - a^2]$$ $$|A| = 2a^2 - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ $$\boxed{a = 1, \quad a = -1}$$

Si $a \neq 1$ y $a \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que el rango de $A$ no puede ser mayor que el de $A^*$ y el máximo es 3) - $n=3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes es distinto de cero. Observamos que la columna 2 y la columna 3 son idénticas, por lo que cualquier determinante que las incluya será 0. Probamos con: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (6 + 1 - 4) - (4 + 2 - 3) = 3 - 3 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, luego $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ con el siguiente menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-6 + 1 - 4) - (-4 - 2 + 3) = -9 - (-3) = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rango}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**Resolverlo para $a = -3$.** Como $a = -3$ no es 1 ni -1, el sistema es **SCD**. Sustituimos el valor: $$\begin{cases} 2x - 3y - 3z = 4 \\ -x - 3y + z = -3 \\ x + y - 3z = 3 \end{cases}$$ Calculamos el determinante $|A|$ para $a = -3$: $$|A| = 2(-3)^2 - 2 = 18 - 2 = 16$$ Usamos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 4 & -3 & -3 \\ -3 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix}}{16} = \frac{(36 - 9 + 9) - (27 + 4 - 27)}{16} = \frac{36 - 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 4 & -3 \\ -1 & -3 & 1 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}}{16} = \frac{(18 + 4 + 9) - (9 + 6 + 12)}{16} = \frac{31 - 27}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}}{16} = \frac{(-18 + 9 - 4) - (-12 - 6 + 9)}{16} = \frac{-13 - (-9)}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{x = 2, \quad y = \frac{1}{4}, \quad z = -\frac{1}{4}}$$