Optimización y análisis de una función de beneficio

**a) (0,75 puntos) ¿Para qué valores de $x \in [1, 10]$ el beneficio es positivo?** Para que el beneficio sea positivo, debemos resolver la inecuación $B(x) \gt 0$ en el intervalo $[1, 10]$. Primero, igualamos la función a cero para encontrar los puntos de corte con el eje $X$: $$B(x) = \frac{9}{x} - \frac{18}{x^2} - 1 = 0$$ Para resolverla de forma sencilla, multiplicamos toda la ecuación por $x^2$ (que es positivo en nuestro dominio) para eliminar los denominadores: $$9x - 18 - x^2 = 0 \implies -x^2 + 9x - 18 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(-1)(-18)}}{2(-1)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 72}}{-2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{-2} = \frac{-9 \pm 3}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = \frac{-6}{-2} = 3, \qquad x_2 = \frac{-12}{-2} = 6$$ 💡 **Tip:** El signo de la función $B(x)$ es el mismo que el de la parábola $-x^2 + 9x - 18$ porque el denominador $x^2$ siempre es positivo en el dominio dado.

Dividimos el intervalo $[1, 10]$ en tres regiones usando los puntos de corte $x=3$ y $x=6$: - En $(1, 3)$, tomamos $x=2$: $B(2) = \frac{9}{2} - \frac{18}{4} - 1 = 4.5 - 4.5 - 1 = -1 \lt 0$. - En $(3, 6)$, tomamos $x=4$: $B(4) = \frac{9}{4} - \frac{18}{16} - 1 = 2.25 - 1.125 - 1 = 0.125 \gt 0$. - En $(6, 10)$, tomamos $x=7$: $B(7) = \frac{9}{7} - \frac{18}{49} - 1 \approx 1.28 - 0.36 - 1 = -0.08 \lt 0$. Por tanto, el beneficio es positivo cuando el precio está entre 3 y 6 euros. ✅ **Resultado (valores de $x$):** $$\boxed{x \in (3, 6)}$$

**b) (1,5 puntos) ¿Qué precio de venta $x \in [1, 10]$ tiene que poner al juguete para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de ese beneficio máximo?** Para maximizar una función, buscamos sus puntos críticos calculando la primera derivada $B'(x)$ e igualándola a cero. Escribimos la función como potencias para derivar más fácil: $$B(x) = 9x^{-1} - 18x^{-2} - 1$$ Derivamos: $$B'(x) = 9(-1)x^{-2} - 18(-2)x^{-3} = -\frac{9}{x^2} + \frac{36}{x^3}$$ Igualamos a cero: $$-\frac{9}{x^2} + \frac{36}{x^3} = 0 \implies \frac{-9x + 36}{x^3} = 0$$ Esto ocurre cuando el numerador es cero: $$-9x + 36 = 0 \implies 9x = 36 \implies x = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x^n$ es $-n/x^{n+1}$.

Estudiamos la monotonía de la función en torno a $x=4$ dentro del dominio $[1, 10]$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & [1, 4) & 4 & (4, 10] \\\hline B'(x) & + & 0 & - \\\hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - Si $x \in [1, 4)$, por ejemplo $x=2$: $B'(2) = -\frac{9}{4} + \frac{36}{8} = -2.25 + 4.5 = 2.25 \gt 0$. - Si $x \in (4, 10]$, por ejemplo $x=5$: $B'(5) = -\frac{9}{25} + \frac{36}{125} = \frac{-45+36}{125} = -\frac{9}{125} \lt 0$. Confirmamos que en **$x=4$** hay un **máximo relativo**.

Para hallar el beneficio máximo, sustituimos $x=4$ en la función original $B(x)$: $$B(4) = \frac{9}{4} - \frac{18}{4^2} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{18}{16} - 1$$ $$B(4) = 2.25 - 1.125 - 1 = 0.125$$ Como el beneficio está en millones de euros: $$0.125 \text{ millones } = 125,000 \text{ euros}.$$ ✅ **Resultado (máximo):** $$\boxed{\text{Precio: } 4 \text{ euros, Beneficio máximo: } 0.125 \text{ millones (125.000 €)}}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{1}^{10} B(x) dx$** Primero hallamos la integral indefinida (la primitiva) de $B(x)$: $$\int B(x) dx = \int \left( \frac{9}{x} - 18x^{-2} - 1 \right) dx$$ Aplicamos las reglas de integración elementales: - $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$ - $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$ - $\int 1 dx = x$ $$\int B(x) dx = 9\ln|x| - 18\left(-\frac{1}{x}\right) - x + C = 9\ln|x| + \frac{18}{x} - x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ siempre que $n \neq -1$.

Aplicamos la Regla de Barrow entre los límites 1 y 10: $$\int_{1}^{10} B(x) dx = \left[ 9\ln|x| + \frac{18}{x} - x \right]_1^{10}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=10$): $$F(10) = 9\ln(10) + \frac{18}{10} - 10 = 9\ln(10) + 1.8 - 10 = 9\ln(10) - 8.2$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = 9\ln(1) + \frac{18}{1} - 1 = 0 + 18 - 1 = 17$$ Restamos ambos valores: $$\int_{1}^{10} B(x) dx = (9\ln(10) - 8.2) - (17) = 9\ln(10) - 25.2$$ Si queremos el valor aproximado: $$9 \cdot 2.3025 - 25.2 \approx 20.72 - 25.2 = -4.48$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{9\ln(10) - 25.2 \approx -4.48}$$