Probabilidad condicionada e intervalo de confianza para la media

**a) (1,5 puntos) Dados dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,8$ y $P(A / B) = 0,7$, calcular $P(A \cap B)$ y $P(A \cup B)$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?** Para calcular la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$, utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad condicionada $P(A/B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$. $$\boxed{P(A \cap B) = 0,56}$$

Para calcular $P(A \cup B)$ utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los datos que tenemos: $$P(A \cup B) = 0,6 + 0,8 - 0,56$$ $$P(A \cup B) = 1,4 - 0,56 = 0,84$$ 💡 **Tip:** Siempre debemos restar la intersección para no contar dos veces los elementos que pertenecen a ambos sucesos. $$\boxed{P(A \cup B) = 0,84}$$

Para comprobar si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, debemos verificar si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0,6 \cdot 0,8 = 0,48$$ Comparamos con el valor de la intersección calculado anteriormente: $$P(A \cap B) = 0,56$$ $$0,56 \neq 0,48$$ Como $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, los sucesos **no son independientes**. Alternativamente, podríamos comprobarlo viendo si $P(A/B) = P(A)$. En este caso, $0,7 \neq 0,6$, lo que confirma que son dependientes. $$\boxed{\text{A y B son sucesos dependientes (no independientes)}}$$

**b) (2 puntos) Se sabe que el gasto semanal en ocio de los jóvenes de una ciudad tiene distribución normal de desviación típica 6 euros. Se toma una muestra de 10 jóvenes y se les pregunta el gasto en ocio de la última semana... Construya un intervalo de confianza de nivel 94% para la media del gasto semanal en ocio.** Primero, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{24,5 + 11 + 16,5 + 18,5 + 21,5 + 25 + 6,5 + 12 + 10,5 + 9,5}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{155}{10} = 15,5$$ Los datos conocidos son: - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $6$ - Tamaño de la muestra ($n$): $10$ - Media muestral ($\bar{x}$): $15,5$ $$\boxed{\bar{x} = 15,5}$$

Para un nivel de confianza del $94\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,94 \implies \alpha = 0,06$. El área en cada cola es $\alpha/2 = 0,03$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,03 = 0,97$$ Mirando en la tabla: - Para $z = 1,88$, la probabilidad es $0,9699$ - Para $z = 1,89$, la probabilidad es $0,9706$ El valor más cercano es $1,88$ (o podemos interpolar a $1,881$). Utilizaremos **$z_{\alpha/2} = 1,88$**. 💡 **Tip:** El valor crítico marca cuántas desviaciones típicas nos alejamos de la media para cubrir el porcentaje de probabilidad deseado. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,88}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,88 \cdot \frac{6}{\sqrt{10}} = 1,88 \cdot \frac{6}{3,162} \approx 1,88 \cdot 1,897 = 3,567$$ Ahora construimos el intervalo: $$Límite\, inferior = 15,5 - 3,567 = 11,933$$ $$Límite\, superior = 15,5 + 3,567 = 19,067$$ El intervalo de confianza al $94\%$ es: $$\boxed{I.C. = (11,933; 19,067)}$$ (Nota: Los valores pueden variar ligeramente según el redondeo de $\sqrt{10}$ y $z_{\alpha/2}$).