Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**A. [1 PUNTO] Calcular los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A = \begin{pmatrix} a-2 & 0 & -3 \\ -1 & a+3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a-2 & 0 & -3 \\ -1 & a+3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(a-2)(a+3)(1) + (0)(0)(1) + (-3)(-1)(-1)] - [(-3)(a+3)(1) + (0)(-1)(1) + (a-2)(0)(-1)]$$ $$|A| = (a^2+a-6) - 3 - [-3a-9]$$ $$|A| = a^2+a-9+3a+9 = a^2+4a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el determinante $|A|$ debe ser distinto de $0$. Para hallar los valores donde no tiene inversa, igualamos a cero: $$a^2+4a = 0 \implies a(a+4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $a = 0$ y $a = -4$. Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a$ excepto $0$ y $-4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}}$$

**B. [0,5 PUNTOS] Utilizando los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar para qué valores del parámetro $a$, las siguientes matrices tienen inversa: B1. [0,25 PUNTOS] $A^2$ y B2. [0,25 PUNTOS] La traspuesta de $A$: $A^t$** Utilizamos las propiedades de los determinantes: **B1. Para $A^2$:** Sabemos que $|A^n| = |A|^n$. En este caso, $|A^2| = |A|^2$. Para que $A^2$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero: $$|A^2| \neq 0 \iff |A|^2 \neq 0 \iff |A| \neq 0$$ Como la condición es la misma que en el apartado anterior, $A^2$ tiene inversa cuando **$a \neq 0$ y $a \neq -4$**. **B2. Para $A^t$:** Sabemos que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: $|A^t| = |A|$. Para que $A^t$ tenga inversa: $$|A^t| \neq 0 \iff |A| \neq 0$$ Nuevamente, la condición es idéntica: $A^t$ tiene inversa cuando **$a \neq 0$ y $a \neq -4$**. 💡 **Tip:** Recuerda las propiedades: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$ y $\det(A^t) = \det(A)$.

**C. [2 PUNTOS] Consideremos la matriz del apartado A para $a = 1$, y las matrices $B$ y $C$ ... Resolver la ecuación matricial $A^{-1}XB + C = Id$.** Primero, aislamos la matriz $X$ en la ecuación: $$A^{-1}XB + C = Id$$ Restamos $C$ en ambos lados: $$A^{-1}XB = Id - C$$ Multiplicamos por $A$ por la izquierda en ambos miembros (recordando que $A \cdot A^{-1} = Id$): $$A \cdot (A^{-1}XB) = A \cdot (Id - C)$$ $$XB = A(Id - C)$$ Multiplicamos por $B^{-1}$ por la derecha en ambos miembros (asumiendo que $B$ es invertible): $$(XB) \cdot B^{-1} = A(Id - C)B^{-1}$$ $$X = A(Id - C)B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para $a=1$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1-2 & 0 & -3 \\ -1 & 1+3 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $D = Id - C$: $$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Comprobamos si $B$ tiene inversa calculando su determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la segunda fila (que tiene ceros): $$|B| = 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1 - 2) = 2 \cdot (-3) = -6$$ Como $|B| = -6 \neq 0$, existe $B^{-1}$.

Calculamos $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $B$: $B_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$; $B_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $B_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ $B_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2$; $B_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3$; $B_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $B_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4$; $B_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $B_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ -2 & -3 & -1 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Entonces: $$B^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$

Calculamos primero el producto $A(Id - C)$: $$A \cdot D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+3 & 1+0+0 & 3+0-3 \\ 1+0+0 & 1-4+0 & 3+0+0 \\ -1+0-1 & -1+1+0 & -3+0+1 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot D = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 3 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Finalmente calculamos $X = (AD) \cdot B^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 3 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 8+0+0 & -8-3+0 & -16+0+0 \\ 2+0-6 & -2+9-3 & -4+0-6 \\ -4+0+4 & 4+0+2 & 8+0+4 \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 8 & -11 & -16 \\ -4 & 4 & -10 \\ 0 & 6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/3 & 11/6 & 8/3 \\ 2/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4/3 & 11/6 & 8/3 \\ 2/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}}$$