Optimización de beneficios y estudio de una función racional

**A. [1,75 PUNTOS] El coste, en euros, de fabricar $x$ unidades de un producto es $C(x) = 3x + 25$. Se ha fijado un precio de venta por unidad que también depende del número de unidades producidas: $13 - \frac{x^2}{750}$ euros. ¿Cuántas unidades deben fabricarse para obtener los máximos beneficios? ¿Cuál es el precio de venta por unidad que debe fijarse para obtener dichos beneficios?** Primero, definimos la función de ingresos $I(x)$, que es el número de unidades vendidas multiplicado por el precio de venta por unidad $P(x)$: $$I(x) = x \cdot P(x) = x \left( 13 - \frac{x^2}{750} \right) = 13x - \frac{x^3}{750}$$ El beneficio $B(x)$ es la diferencia entre los ingresos y los costes: $$B(x) = I(x) - C(x) = \left( 13x - \frac{x^3}{750} \right) - (3x + 25)$$ $$B(x) = 10x - \frac{x^3}{750} - 25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio siempre se calcula como $\text{Ingresos} - \text{Costes}$. No olvides poner paréntesis al restar el coste para que el signo afecte a todos sus términos.

Para maximizar el beneficio, calculamos la primera derivada $B'(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = 10 - \frac{3x^2}{750} = 10 - \frac{x^2}{250}$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$10 - \frac{x^2}{250} = 0 \implies 10 = \frac{x^2}{250} \implies x^2 = 2500$$ $$x = \sqrt{2500} = 50$$ (Descartamos la solución negativa $x = -50$ ya que el número de unidades fabricadas debe ser positivo, $x \gt 0$). Para verificar que se trata de un máximo, usamos la segunda derivada: $$B''(x) = -\frac{2x}{250} = -\frac{x}{125}$$ Evaluamos en $x = 50$: $$B''(50) = -\frac{50}{125} = -0,4 \lt 0$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que en $x = 50$ hay un **máximo relativo**. $$\boxed{x = 50 \text{ unidades}}$$

Una vez sabemos que se deben fabricar $50$ unidades, calculamos el precio de venta por unidad sustituyendo en la expresión del precio $P(x)$: $$P(50) = 13 - \frac{50^2}{750} = 13 - \frac{2500}{750} = 13 - \frac{250}{75} = 13 - \frac{10}{3}$$ $$P(50) = \frac{39 - 10}{3} = \frac{29}{3} \approx 9,67 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado Final Parte A:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 50 unidades y fijar un precio de } 9,67 \text{ €/unidad}}$$

**B1. [1 PUNTO] Determinar sus asíntotas verticales. Esbozar la posición de la gráfica respecto a dichas asíntotas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.** Las asíntotas verticales de una función racional suelen encontrarse en los valores que anulan el denominador y no anulan el numerador. Dada $f(x) = \frac{x+3}{x^2 + 6x + 5}$, resolvemos: $$x^2 + 6x + 5 = 0 \implies x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2}$$ Las soluciones son $x_1 = -1$ y $x_2 = -5$. Como el numerador $x+3$ no se anula para estos valores ($f(-1) \to \frac{2}{0}$ y $f(-5) \to \frac{-2}{0}$), confirmamos que existen asíntotas verticales en: $$\boxed{x = -1, \quad x = -5}$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir un valor de $x$ el denominador es cero y el numerador es distinto de cero, el límite será infinito y habrá una asíntota vertical.

Para esbozar la gráfica, estudiamos el comportamiento cerca de las asíntotas. Para facilitar el cálculo del signo, factorizamos el denominador: $x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)$. **Para $x = -5$:** $$\lim_{x \to -5^-} \frac{x+3}{(x+1)(x+5)} = \frac{-2}{(-4)(0^-)} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -5^+} \frac{x+3}{(x+1)(x+5)} = \frac{-2}{(-4)(0^+)} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$ **Para $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x+3}{(x+1)(x+5)} = \frac{2}{(0^-)(4)} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x+3}{(x+1)(x+5)} = \frac{2}{(0^+)(4)} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ En el siguiente gráfico podemos observar cómo la función se aproxima a sus asíntotas verticales.

**B2. [0,75 PUNTOS] Calcular la integral definida: $\int_1^2 \frac{x + 3}{x^2 + 6x + 5} dx$** Como el grado del numerador es menor que el del denominador, usamos el método de descomposición en fracciones simples: $$\frac{x+3}{(x+1)(x+5)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+5}$$ Sumamos las fracciones: $$x+3 = A(x+5) + B(x+1)$$ Calculamos $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = -1 \implies 2 = 4A \implies A = 1/2$ - Si $x = -5 \implies -2 = -4B \implies B = 1/2$ Por tanto: $$\int \frac{x+3}{x^2+6x+5} dx = \int \frac{1/2}{x+1} dx + \int \frac{1/2}{x+5} dx = \frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x+5|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{x+a}$ es $\ln|x+a|$. El valor absoluto es fundamental si el intervalo de integración pudiera incluir valores negativos.

Aplicamos la regla de Barrow en el intervalo $[1, 2]$: $$I = \left[ \frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{2} \ln|x+5| \right]_1^2 = \frac{1}{2} \left[ \ln|x+1| + \ln|x+5| \right]_1^2$$ Evaluamos en los límites: $$I = \frac{1}{2} [(\ln 3 + \ln 7) - (\ln 2 + \ln 6)]$$ Usando propiedades de los logaritmos ($\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$): $$I = \frac{1}{2} [\ln(21) - \ln(12)] = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{21}{12} \right) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{7}{4} \right)$$ Si queremos el valor decimal aproximado: $$I \approx 0,2798$$ ✅ **Resultado Final Parte B2:** $$\boxed{\frac{1}{2} \ln\left( \frac{7}{4} \right)}$$