Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**A. [1,5 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 90 % para la nota media.** En primer lugar, identificamos la variable aleatoria $X$ que representa la nota del examen de inglés. El enunciado nos indica que sigue una distribución normal: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1,9$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 6,82$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ (o $90 \%$). La distribución de las medias muestrales seguirá una normal $N\left(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$. 💡 **Tip:** En los problemas de estimación de la media, siempre es útil anotar primero los valores de $\bar{x}$, $\sigma$ y $n$.

Para un nivel de confianza del $90 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,90$, entonces $\alpha = 0,10$. 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,05$. 3. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$1 - \dfrac{\alpha}{2} = 1 - 0,05 = 0,95$$ Buscando en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0,95$, observamos que el valor está exactamente entre $1,64$ ($0,9495$) y $1,65$ ($0,9505$). Por tanto, tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha y $1 - \alpha/2$ a su izquierda.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,645 \cdot \dfrac{1,9}{\sqrt{100}} = 1,645 \cdot \dfrac{1,9}{10} = 1,645 \cdot 0,19 = 0,31255$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $6,82 - 0,31255 = 6,50745$ - Límite superior: $6,82 + 0,31255 = 7,13255$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{90\%} = (6,50745, \; 7,13255)}$$

**B. [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior?** El enunciado nos pide que el nuevo error, llamémoslo $E'$, sea un cuarto del error $E$ calculado en el apartado A ($E = 0,31255$): $$E' = \dfrac{E}{4} = \dfrac{0,31255}{4} = 0,0781375$$ Ahora trabajaremos con este nuevo margen de error y un nivel de confianza del $98 \%$. 💡 **Tip:** Mantén todos los decimales posibles durante los cálculos intermedios para evitar errores de redondeo al final.

Calculamos el nuevo valor crítico para $1 - \alpha = 0,98$: 1. $\alpha = 1 - 0,98 = 0,02$. 2. $\alpha/2 = 0,01$. 3. Buscamos en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. En la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0,99$ corresponde aproximadamente a $z_{\alpha/2} = 2,33$ (ya que $P(Z \le 2,33) = 0,9901$). $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,33}$$ *(Nota: Si usas una tabla muy precisa o calculadora, podrías obtener $2,326$, pero $2,33$ es el estándar en Bachillerato).*

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \implies n = \left( \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E'} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \dfrac{2,33 \cdot 1,9}{0,0781375} \right)^2 = \left( \dfrac{4,427}{0,0781375} \right)^2 \approx (56,6565...)^2 \approx 3209,96$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** el indicado, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 3210 \text{ alumnos}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño de una muestra ($n$), redondea hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño, para asegurar que el error real sea menor o igual al solicitado.