Optimización de costes en transporte (Programación lineal)

Para resolver este problema de **programación lineal**, lo primero es identificar qué es lo que queremos calcular (variables) y qué queremos optimizar (función objetivo). Sean las variables: - $x$: número de autocares grandes (60 plazas) alquilados. - $y$: número de autocares pequeños (40 plazas) alquilados. El objetivo es **minimizar los costes**, por lo que definimos la función de coste $C(x, y)$ basándonos en los precios de alquiler: $$C(x, y) = 100x + 65y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en este tipo de problemas las variables siempre representan cantidades físicas, por lo que deben ser valores enteros no negativos ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas: 1. **Capacidad de personas:** Deben caber al menos 540 personas. $$60x + 40y \ge 540$$ Si simplificamos dividiendo entre 20: **$3x + 2y \ge 27$**. 2. **Disponibilidad de autocares:** - Grandes: **$x \le 12$** - Pequeños: **$y \le 9$** 3. **Disponibilidad de conductores:** Solo hay 10 conductores en total, por lo que no se pueden usar más de 10 autocares sumando ambos tipos. **$x + y \le 10$** 4. **Condiciones de no negatividad:** **$x \ge 0, \quad y \ge 0$** El sistema de restricciones queda: $$\begin{cases} 3x + 2y \ge 27 \\ x + y \le 10 \\ x \le 12 \\ y \le 9 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Es muy importante simplificar las ecuaciones si es posible para facilitar el dibujo de las rectas y el cálculo de los vértices.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (zona donde se cumplen todas las condiciones). - Recta $r_1$ ($3x + 2y = 27$): Pasa por $(9, 0)$ y $(7, 3)$. - Recta $r_2$ ($x + y = 10$): Pasa por $(10, 0)$ y $(0, 10)$. - Rectas $x=12$, $y=9$, $x=0$, $y=0$ son los límites de los ejes y disponibilidad física. Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas que la delimitan: - **Vértice A:** Intersección de $3x + 2y = 27$ y $x + y = 10$. $$\begin{cases} 3x + 2y = 27 \\ y = 10 - x \end{cases} \implies 3x + 2(10 - x) = 27 \implies x + 20 = 27 \implies \mathbf{x = 7, y = 3}$$ - **Vértice B:** Intersección de $3x + 2y = 27$ con el eje $X$ ($y=0$). $$3x + 0 = 27 \implies \mathbf{x = 9, y = 0}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 10$ con el eje $X$ ($y=0$). $$x + 0 = 10 \implies \mathbf{x = 10, y = 0}$$ Observamos que la restricción $y \le 9$ y $x \le 12$ no cortan a esta región pequeña de forma limitante más allá de lo que ya hacen los conductores y la capacidad.

Evaluamos la función de coste $C(x, y) = 100x + 65y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor mínimo: - En el punto **$A(7, 3)$**: $$C(7, 3) = 100(7) + 65(3) = 700 + 195 = 895 \text{ euros}$$ - En el punto **$B(9, 0)$**: $$C(9, 0) = 100(9) + 65(0) = 900 \text{ euros}$$ - En el punto **$C(10, 0)$**: $$C(10, 0) = 100(10) + 65(0) = 1000 \text{ euros}$$ Comparando los resultados, el coste mínimo se obtiene en el vértice $A$. ✅ **Resultado final:** Para minimizar los costes, deberán alquilarse **7 autocares de 60 plazas (grandes)** y **3 autocares de 40 plazas (pequeños)**. El coste total mínimo será de **895 euros**. $$\boxed{x = 7, y = 3}$$