Estudio completo de una función polinómica y cálculo de áreas

**A. [0,1 PUNTOS] Obtener los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la función $f(x) = x^3 + x^2 - 12x$: 1. **Corte con el eje OY:** Ocurre cuando $x = 0$. $$f(0) = 0^3 + 0^2 - 12(0) = 0$$ El punto es **$(0, 0)$**. 2. **Corte con el eje OX:** Ocurre cuando $f(x) = 0$. $$x^3 + x^2 - 12x = 0$$ Factorizamos sacando factor común $x$: $$x(x^2 + x - 12) = 0$$ Esto nos da la primera solución $x_1 = 0$. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-12)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ Obtenemos $x_2 = 3$ y $x_3 = -4$. 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar cortes con el eje OX siempre debes igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Eje OY: } (0,0); \quad \text{Eje OX: } (-4,0), (0,0), (3,0)}$$

**B. [0,6 PUNTOS] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Primero calculamos la derivada $f'(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 3x^2 + 2x - 12$$ $$3x^2 + 2x - 12 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-12)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{148}}{6}$$ Simplificando $\sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37}$: $$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{37}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{3}$$ Valores aproximados: $x_1 \approx -2,36$ y $x_2 \approx 1,69$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2,36) & -2,36 & (-2,36, 1,69) & 1,69 & (1,69, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) > 0$ la función crece, si $f'(x) < 0$ la función decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -2,36) \cup (1,69, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-2,36, 1,69) \\ &\text{Máximo relativo en } x \approx -2,36 \\ &\text{Mínimo relativo en } x \approx 1,69 \end{aligned}}$$

**C. [0,6 PUNTOS] Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Calculamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f''(x) = 6x + 2$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$6x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1/3) & -1/3 & (-1/3, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Calculamos la ordenada del punto de inflexión: $f(-1/3) = (-1/3)^3 + (-1/3)^2 - 12(-1/3) = -1/27 + 1/9 + 4 = \frac{-1+3+108}{27} = \frac{110}{27} \approx 4,07$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Cóncava (hacia abajo): } (-\infty, -1/3) \\ &\text{Convexa (hacia arriba): } (-1/3, +\infty) \\ &\text{Punto de Inflexión: } (-1/3, 110/27) \end{aligned}}$$

**D. [0,5 PUNTOS] Dibujar la región delimitada por la curva anterior y la recta $g(x) = - 6x$.** Buscamos los puntos de intersección entre $f(x) = x^3 + x^2 - 12x$ y $g(x) = -6x$: $$x^3 + x^2 - 12x = -6x \implies x^3 + x^2 - 6x = 0$$ $$x(x^2 + x - 6) = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 6 = 0$, obtenemos $x = 2$ y $x = -3$. Los puntos de corte son $x = -3$, $x = 0$ y $x = 2$. Representamos ambas funciones para visualizar el área delimitada.

**E. [1,7 PUNTOS] Calcular el área de la región anterior.** El área está dividida en dos recintos según los puntos de corte $x=-3, 0, 2$. Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 + x^2 - 6x$. 1. **Recinto 1 ($x \in [-3, 0]$):** Aquí $f(x) \ge g(x)$. $$A_1 = \int_{-3}^{0} (x^3 + x^2 - 6x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{-3}^{0}$$ $$A_1 = (0) - \left( \frac{(-3)^4}{4} + \frac{(-3)^3}{3} - 3(-3)^2 \right) = - \left( \frac{81}{4} - 9 - 27 \right) = - \left( \frac{81 - 144}{4} \right) = \frac{63}{4} u^2$$ 2. **Recinto 2 ($x \in [0, 2]$):** Aquí $g(x) \ge f(x)$. $$A_2 = \int_{0}^{2} (-x^3 - x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{2}$$ $$A_2 = \left( -\frac{16}{4} - \frac{8}{3} + 3(4) \right) - (0) = -4 - \frac{8}{3} + 12 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} u^2$$ **Área total:** $$A = A_1 + A_2 = \frac{63}{4} + \frac{16}{3} = \frac{189 + 64}{12} = \frac{253}{12} \approx 21,08 u^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda aplicar la Regla de Barrow con cuidado con los signos negativos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área } = \frac{253}{12} \approx 21,08 \text{ unidades de superficie}}$$