Probabilidad con tabla de contingencia: Nivel de inglés y Grados Universitarios

Para resolver este ejercicio utilizaremos la información proporcionada en la **tabla de contingencia**. Primero, definiremos los sucesos correspondientes a los Grados y a los niveles de inglés: - $E$: Estudiar el G. de Económicas. - $A$: Estudiar el G. de Adm. y D. de Empresas (ADE). - $D$: Estudiar el G. de Derecho. - $H$: Tener un nivel de inglés alto. - $M$: Tener un nivel de inglés medio. - $B$: Tener un nivel de inglés bajo. La tabla de datos completa es la siguiente: $$\begin{array}{l|ccc|c} \text{Nivel / Grado} & E & A & D & \text{Total} \\ \hline \text{Alto (H)} & 20 & 33 & 34 & 87 \\ \text{Medio (M)} & 78 & 167 & 76 & 321 \\ \text{Bajo (B)} & 27 & 20 & 65 & 112 \\ \hline \text{Total} & 125 & 220 & 175 & \mathbf{520} \end{array}$$ El número total de alumnos es $N = 520$. 💡 **Tip:** En problemas con tablas de contingencia, la probabilidad de un suceso simple se calcula dividiendo el total de su fila o columna entre el gran total de la tabla (Regla de Laplace).

**A. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que esté estudiando Derecho?** Para calcular la probabilidad de que el alumno estudie Derecho, $P(D)$, aplicamos la **Regla de Laplace**: $$P(D) = \frac{\text{Número de alumnos de Derecho}}{\text{Número total de alumnos}}$$ Consultando la tabla, vemos que el total de alumnos de Derecho es $175$ y el total de la universidad es $520$: $$P(D) = \frac{175}{520}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $5$: $$P(D) = \frac{35}{104} \approx 0.3365$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = \frac{35}{104} \approx 0.3365}$$

**B. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que estudie Económicas y tenga un nivel alto?** Buscamos la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que estudie Económicas ($E$) **y** tenga nivel alto ($H$), es decir, $P(E \cap H)$. Localizamos en la tabla la celda donde se cruzan la columna de **G. Económicas** y la fila de **Nivel alto**: - Casos favorables ($E \cap H$): $20$ - Casos totales: $520$ $$P(E \cap H) = \frac{20}{520}$$ Simplificamos dividiendo entre $20$: $$P(E \cap H) = \frac{1}{26} \approx 0.0385$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ en una tabla se encuentra directamente en la celda de cruce entre la fila de $A$ y la columna de $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E \cap H) = \frac{1}{26} \approx 0.0385}$$

**C [1 PUNTO] Si sabemos que el alumno tiene un nivel medio, ¿cuál es la probabilidad de que esté estudiando Administración y D. de Empresas?** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Sabemos que el alumno tiene un nivel medio ($M$), por lo que nuestro espacio muestral se reduce solo a los alumnos con ese nivel. Queremos saber la probabilidad de que sea de ADE ($A$): $$P(A|M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)} = \frac{\text{Alumnos de ADE con nivel medio}}{\text{Total de alumnos con nivel medio}}$$ De la tabla obtenemos: - Alumnos de ADE con nivel medio ($A \cap M$): $167$ - Total de alumnos con nivel medio ($M$): $321$ $$P(A|M) = \frac{167}{321} \approx 0.5202$$ Esta fracción es irreducible ya que $167$ es un número primo. 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, para calcular $P(A|B)$ basta con mirar la fila (o columna) del suceso que ya conocemos ($B$) y tomar el dato de la categoría que buscamos ($A$) dividido por el total de esa fila (o columna). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|M) = \frac{167}{321} \approx 0.5202}$$