Rango de una matriz y discusión de sistemas con parámetros

**A. [2,5 PUNTOS] Analizar el rango de la matriz A según los valores del parámetro $a$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz $3 \times 3$, el rango será 3 si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -a^2 \\ 0 & -3 & a \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-3) \cdot 4 + 2 \cdot a \cdot (-2) + (-a^2) \cdot 0 \cdot 2] - [(-a^2) \cdot (-3) \cdot (-2) + 2 \cdot 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot a]$$ $$|A| = [-12 - 4a + 0] - [-6a^2 + 0 + 2a]$$ $$|A| = -12 - 4a + 6a^2 - 2a = 6a^2 - 6a - 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que con Sarrus multiplicamos las diagonales principales y restamos el producto de las diagonales secundarias.

Para saber cuándo el rango no es 3, igualamos el determinante a cero: $$6a^2 - 6a - 12 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 6 para simplificar: $$a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos valores críticos: $$a_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ $$\boxed{a = 2, \quad a = -1}$$

Analizamos los casos según el valor de $a$: 1. **Si $a \neq 2$ y $a \neq -1$**: El determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rg}(A) = 3$$ 2. **Si $a = 2$ o $a = -1$**: El determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, las primeras dos filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. $$\text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \Rightarrow \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } a = -1 \text{ o } a = 2 \Rightarrow \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**B1. [0,25 PUNTOS] Analizar si el sistema tiene solución.** El sistema B1 es: $$\begin{cases} x + 2y = -1 \\ -3y = 1 \\ -2x + 2y = 4 \end{cases}$$ Observamos que la matriz de coeficientes $M$ coincide con las dos primeras columnas de la matriz $A$ del apartado A. La matriz ampliada $A^*$ de este sistema es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Esta matriz $A^*$ es exactamente la matriz $A$ original si sustituimos la columna de parámetros por los términos independientes. Comparando con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -a^2 \\ 0 & -3 & a \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, vemos que coincide si: $-a^2 = -1$ y $a = 1$. Ambas se cumplen para **$a = 1$**. Como en el apartado A vimos que si $a = 1$ (ya que $1 \neq 2, -1$), $\text{rg}(A) = 3$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. La matriz de coeficientes $M$ tiene $\text{rg}(M) = 2$ (visto en el paso anterior). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(M) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$: ✅ **Resultado (B1):** $$\boxed{\text{El sistema B1 es Incompatible (no tiene solución)}}$$

**B2. [0,25 PUNTOS] Analizar si el sistema tiene solución.** El sistema B2 es: $$\begin{cases} x + 2y = -4 \\ -3y = 2 \\ -2x + 2y = 4 \end{cases}$$ La matriz ampliada $A^*$ es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & -3 & 2 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$ Buscamos si corresponde a la matriz $A$ para algún valor de $a$: $-a^2 = -4 \Rightarrow a = \pm 2$ y $a = 2$. Ambas coinciden para **$a = 2$**. En el apartado A vimos que si **$a = 2$**, $\text{rg}(A) = 2$. Por lo tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. La matriz de coeficientes $M$ tiene $\text{rg}(M) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(M) = \text{rg}(A^*) = 2$ (que es igual al número de incógnitas $x, y$): ✅ **Resultado (B2):** $$\boxed{\text{El sistema B2 es Compatible Determinado (tiene solución única)}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Resolver los casos compatibles del apartado B.** Resolvemos el sistema B2. Como el rango es 2, podemos usar dos ecuaciones cualesquiera que sean independientes: $$\begin{cases} x + 2y = -4 \quad (1) \\ -3y = 2 \quad (2) \end{cases}$$ De la ecuación (2) despejamos $y$: $$-3y = 2 \implies y = -\frac{2}{3}$$ Sustituimos el valor de $y$ en la ecuación (1): $$x + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = -4$$ $$x - \frac{4}{3} = -4$$ $$x = -4 + \frac{4}{3} = \frac{-12 + 4}{3} = -\frac{8}{3}$$ Comprobamos en la tercera ecuación ($-2x + 2y = 4$): $$-2\left(-\frac{8}{3}\right) + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$$ Se cumple correctamente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -\frac{8}{3}, \quad y = -\frac{2}{3}}$$