Optimización de producción y cálculo de áreas

**A. [1,75 PUNTOS] Un agricultor cultiva árboles frutales. En concreto tiene a su cargo 10 limoneros y cada uno produce 70 frutos. Tiene pensado ampliar el huerto pero ha calculado que por cada nuevo árbol plantado, disminuye en 5 unidades el número de limones producido por cada ejemplar. ¿Cuántos árboles más debería plantar para obtener la producción total máxima?** En primer lugar, definimos la variable principal del problema: Sea $x$ el número de **árboles adicionales** que el agricultor decide plantar ($x \ge 0$). A partir del enunciado, establecemos los elementos que componen la producción total: - Número total de árboles: $10 + x$ - Producción por cada árbol: $70 - 5x$ La función de producción total $P(x)$ será el producto de ambas expresiones: $$P(x) = (10 + x)(70 - 5x)$$ Expandimos la expresión para trabajar más cómodamente con el polinomio: $$P(x) = 700 - 50x + 70x - 5x^2$$ $$P(x) = -5x^2 + 20x + 700$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso fundamental es identificar la función a maximizar o minimizar y expresarla en términos de una sola variable.

Para hallar el máximo de la función $P(x)$, calculamos su primera derivada y buscamos sus puntos críticos igualando a cero: $$P'(x) = -10x + 20$$ Igualamos a cero: $$-10x + 20 = 0 \implies 10x = 20 \implies x = 2$$ Analizamos el signo de la primera derivada para confirmar que se trata de un máximo mediante una tabla de monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 2) & 2 & (2, 14]\\ \hline P'(x) & + & 0 & -\\ \hline P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** También podemos usar la segunda derivada para comprobar el tipo de extremo. Como $P''(x) = -10$, al ser negativa ($P''(2) = -10 \lt 0$), confirmamos que en $x=2$ existe un **máximo relativo**.

El valor $x = 2$ representa los árboles adicionales que debe plantar. Por tanto, para obtener la producción máxima, el agricultor debe plantar 2 árboles más. La producción máxima sería: $$P(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 700 = -20 + 40 + 700 = 720 \text{ limones.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe plantar 2 árboles más}}$$

**B. [1,75 PUNTOS] Calcular el área total de la región delimitada por la curva $y = x^3 - 4x^2 + 3x$ y el eje OX.** Para calcular el área delimitada por una curva y el eje OX ($y=0$), primero debemos hallar los puntos de corte de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ con dicho eje: $$x^3 - 4x^2 + 3x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 4x + 3) = 0$$ Esto nos da una primera solución $x = 0$. Para el resto, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Las soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = 1$. Los puntos de corte son **$x=0, x=1$ y $x=3$**. Estos valores dividen la región en dos intervalos de integración: $[0, 1]$ y $[1, 3]$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje OX son fundamentales para saber en qué intervalos la función está por encima o por debajo del eje y así plantear correctamente las integrales definidas.

El área total será la suma de las áreas absolutas en cada intervalo: $$\text{Área} = \left| \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx \right| + \left| \int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx \right|$$ Calculamos primero la integral indefinida (primitiva): $$F(x) = \int (x^3 - 4x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración para potencias: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la Regla de Barrow en cada intervalo: 1. Para el intervalo $[0, 1]$: $$\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} \right) - 0 = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$$ 2. Para el intervalo $[1, 3]$: $$\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1) = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{4 \cdot 3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \frac{5}{12}$$ $$\int_1^3 f(x) \, dx = \left( \frac{81}{4} - 36 + \frac{27}{2} \right) - \frac{5}{12} = \left( \frac{81 - 144 + 54}{4} \right) - \frac{5}{12} = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12}$$ $$\int_1^3 f(x) \, dx = -\frac{27}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$$ El área total es la suma de los valores absolutos: $$\text{Área} = \left| \frac{5}{12} \right| + \left| -\frac{32}{12} \right| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12} \approx 3,083 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{37}{12} \text{ u}^2}$$