Probabilidad Total y Teorema de Bayes en producción de botones

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales: - $A$: El botón ha sido fabricado por la máquina A. - $B$: El botón ha sido fabricado por la máquina B. - $C$: El botón ha sido fabricado por la máquina C. - $D$: El botón es defectuoso. - $\bar{D}$: El botón no es defectuoso (correcto). Los datos del enunciado en términos de probabilidad son: - $P(A) = 0.45$ - $P(B) = 0.23$ - $P(C) = 0.32$ Las probabilidades condicionadas (defectuosos según la máquina) son: - $P(D|A) = 0.02 \implies P(\bar{D}|A) = 0.98$ - $P(D|B) = 0.01 \implies P(\bar{D}|B) = 0.99$ - $P(D|C) = 0.03 \implies P(\bar{D}|C) = 0.97$ Representamos esta situación en un árbol de probabilidad:

**A. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?** Para calcular la probabilidad de que un botón no sea defectuoso $P(\bar{D})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un botón no es defectuoso si viene de la máquina A y es correcto, O si viene de B y es correcto, O si viene de C y es correcto: $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(C) \cdot P(\bar{D}|C)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{D}) = 0.45 \cdot 0.98 + 0.23 \cdot 0.99 + 0.32 \cdot 0.97$$ $$P(\bar{D}) = 0.441 + 0.2277 + 0.3104$$ $$P(\bar{D}) = 0.9791$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales de un árbol siempre debe ser 1. También podrías haber calculado $P(D)$ y luego hacer $1 - P(D)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D}) = 0.9791}$$ (La probabilidad es del $97.91\%$)

**B. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y haya pasado por la máquina B?** En este caso nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que sea de la máquina B **y** que sea defectuoso ($B \cap D$). Utilizamos la definición de probabilidad compuesta: $$P(B \cap D) = P(B) \cdot P(D|B)$$ Sustituimos los valores: $$P(B \cap D) = 0.23 \cdot 0.01$$ $$P(B \cap D) = 0.0023$$ 💡 **Tip:** Cuando el enunciado usa la conjunción "y", se refiere a una intersección. Gráficamente en el árbol, es el producto de las probabilidades a lo largo de ese camino específico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap D) = 0.0023}$$ (La probabilidad es del $0.23\%$)

**C. [1 PUNTO] Si es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la máquina C?** Aquí nos dan una información previa: sabemos que el botón **es defectuoso**. Queremos hallar la probabilidad de que provenga de C. Esto es una probabilidad condicionada $P(C|D)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|D) = \frac{P(C) \cdot P(D|C)}{P(D)}$$ Primero necesitamos $P(D)$. Podemos obtenerlo como el complementario del apartado A o sumando las ramas de defectuosos: $$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0.9791 = 0.0209$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(C|D) = \frac{0.32 \cdot 0.03}{0.0209}$$ $$P(C|D) = \frac{0.0096}{0.0209} \approx 0.4593$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para "volver atrás" en el árbol, es decir, cuando conocemos el resultado final (es defectuoso) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (qué máquina lo hizo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|D) \approx 0.4593}$$ (Aproximadamente un $45.93\%$)