Programación Lineal: Optimización de producción de tartas

Para resolver este problema de programación lineal, primero debemos identificar las incógnitas y organizar los datos suministrados en el enunciado. Definimos las variables: - $x$: número de docenas de tartas de **hojaldre**. - $y$: número de docenas de tartas de **chocolate**. Organizamos la información en una tabla para visualizar las restricciones de recursos: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Ingredientes} & \text{Hojaldre } (x) & \text{Chocolate } (y) & \text{Disponibilidad} \\ \hline \text{Harina (kg)} & 2,5 & 5 & 125 \\ \hline \text{Azúcar (kg)} & 1 & 0,5 & 25 \\ \hline \text{Mantequilla (kg)} & 1 & 1 & 30 \\ \hline \text{Beneficio (€)} & 15 & 25 & \text{Maximizar} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla es fundamental en programación lineal para no olvidar ninguna restricción y plantear correctamente las inecuaciones.

A partir de la disponibilidad de ingredientes, planteamos el sistema de inecuaciones que define la región factible: 1. **Harina:** $2,5x + 5y \le 125$ 2. **Azúcar:** $1x + 0,5y \le 25$ 3. **Mantequilla:** $1x + 1y \le 30$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden producir docenas negativas, $x \ge 0$ y $y \ge 0$. Simplificamos las inecuaciones para facilitar el dibujo: - Harina: $2,5x + 5y \le 125 \implies x + 2y \le 50$ - Azúcar: $x + 0,5y \le 25 \implies 2x + y \le 50$ - Mantequilla: $x + y \le 30$ La **función objetivo**, que representa el beneficio total a maximizar, es: $$B(x, y) = 15x + 25y$$ $$\boxed{f(x,y) = 15x + 25y}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones dividiendo o multiplicando por números positivos ayuda a graficar las rectas con mayor rapidez.

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible. Buscamos los puntos de corte con los ejes de cada recta: - **Recta Harina ($x + 2y = 50$):** Pasa por $(50, 0)$ y $(0, 25)$. - **Recta Azúcar ($2x + y = 50$):** Pasa por $(25, 0)$ y $(0, 50)$. - **Recta Mantequilla ($x + y = 30$):** Pasa por $(30, 0)$ y $(0, 30)$. La intersección de todos los semiplanos definidos por las inecuaciones forma un polígono en el primer cuadrante.

Los vértices de la región factible son los puntos donde se cruzan las restricciones. Observando el gráfico, los vértices son: - **A:** Origen $(0, 0)$. - **B:** Corte de la recta de azúcar con el eje $X$: $(25, 0)$. - **C:** Intersección de azúcar ($2x + y = 50$) y mantequilla ($x + y = 30$): Restando las ecuaciones: $(2x + y) - (x + y) = 50 - 30 \implies x = 20$. Sustituyendo: $20 + y = 30 \implies y = 10$. Punto **$(20, 10)$**. - **D:** Intersección de harina ($x + 2y = 50$) y mantequilla ($x + y = 30$): Restando las ecuaciones: $(x + 2y) - (x + y) = 50 - 30 \implies y = 20$. Sustituyendo: $x + 20 = 30 \implies x = 10$. Punto **$(10, 20)$**. - **E:** Corte de la recta de harina con el eje $Y$: $(0, 25)$. 💡 **Tip:** Recuerda que los vértices siempre son puntos de intersección de las rectas que forman las fronteras de la región factible.

Para encontrar el beneficio máximo, evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 15x + 25y$ en cada uno de los vértices hallados: 1. $B(0, 0) = 15(0) + 25(0) = 0\text{ €}$ 2. $B(25, 0) = 15(25) + 25(0) = 375\text{ €}$ 3. $B(20, 10) = 15(20) + 25(10) = 300 + 250 = 550\text{ €}$ 4. $B(10, 20) = 15(10) + 25(20) = 150 + 500 = 650\text{ €}$ 5. $B(0, 25) = 15(0) + 25(25) = 625\text{ €}$ Comparando los resultados, el beneficio máximo es de **650 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se obtendrá el máximo beneficio con 10 docenas de hojaldre y 20 docenas de chocolate}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal sobre regiones poligonales cerradas, el óptimo (máximo o mínimo) siempre se encuentra en uno de los vértices del polígono.