Estudio de continuidad, asíntotas e integral con parámetros

**A1. [1,5 PUNTOS] Determinar los valores del parámetro $a$ para los cuales $f(x)$ es continua en $x = -2$.** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la imagen del punto: $f(c)$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende al punto: $\lim_{x \to c} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. En nuestro caso, evaluamos en $x = -2$: - Imagen: $f(-2) = a(-2) = -2a$. - Límite: $\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{2x + 4}{3x^2 + 3x - 6}$. Al sustituir $x = -2$ en el límite: $$\lim_{x \to -2} \frac{2(-2) + 4}{3(-2)^2 + 3(-2) - 6} = \frac{-4 + 4}{12 - 6 - 6} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$ en funciones racionales podemos factorizar los polinomios o aplicar la regla de L'Hôpital.

Resolvemos la indeterminación aplicando la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to -2} \frac{2x + 4}{3x^2 + 3x - 6} = \lim_{x \to -2} \frac{(2x + 4)'}{(3x^2 + 3x - 6)'} = \lim_{x \to -2} \frac{2}{6x + 3}$$ Ahora evaluamos el límite: $$\lim_{x \to -2} \frac{2}{6(-2) + 3} = \frac{2}{-12 + 3} = \frac{2}{-9} = -\frac{2}{9}$$ Para que la función sea continua, igualamos el límite a la imagen $f(-2)$: $$-2a = -\frac{2}{9} \implies a = \frac{-2}{9 \cdot (-2)} = \frac{1}{9}$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = \frac{1}{9}}$$

**A2. [1 PUNTO] Determinar las asíntotas verticales de $f(x)$. Esbozar la posición de la gráfica de la función respecto a dichas asíntotas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde el denominador se anula y el numerador es distinto de cero (límites infinitos). El denominador es $3x^2 + 3x - 6$. Buscamos sus raíces: $$3x^2 + 3x - 6 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Las raíces son $x = 1$ y $x = -2$. - En $x = -2$: Ya hemos visto en el apartado anterior que el límite es finito ($-\frac{2}{9}$), por lo que **no hay asíntota vertical** en $x = -2$ (hay una discontinuidad evitable). - En $x = 1$: El numerador es $2(1)+4 = 6 \neq 0$. Por tanto, hay una **asíntota vertical en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Una recta $x = c$ es asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales es $\pm\infty$.

Calculamos los límites laterales en $x = 1$ para ver el comportamiento de la función: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x + 4}{3(x+2)(x-1)} = \frac{6}{3(3)(0^-)} = \frac{6}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 4}{3(x+2)(x-1)} = \frac{6}{3(3)(0^+)} = \frac{6}{0^+} = +\infty$$ Esto significa que a la izquierda de $x=1$ la función baja hacia $-\infty$ y a la derecha sube hacia $+\infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{Asíntota Vertical: } x = 1}$$

**B. [1 PUNTO] Dada la función $f(x) = x^3 + ax + 5$, calcular el valor de $a$ para que $\int_{-1}^3 f(x) dx = 60$** Primero calculamos la integral indefinida de $f(x)$: $$\int (x^3 + ax + 5) dx = \frac{x^4}{4} + a\frac{x^2}{2} + 5x + C$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida en el intervalo $[-1, 3]$: $$\int_{-1}^3 (x^3 + ax + 5) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} + 5x \right]_{-1}^3$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Calculamos los valores en los extremos: Para $x = 3$: $$F(3) = \frac{3^4}{4} + \frac{a(3^2)}{2} + 5(3) = \frac{81}{4} + \frac{9a}{2} + 15$$ Para $x = -1$: $$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{a(-1)^2}{2} + 5(-1) = \frac{1}{4} + \frac{a}{2} - 5$$ Restamos ambos resultados: $$\left( \frac{81}{4} + \frac{9a}{2} + 15 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{a}{2} - 5 \right) = 60$$ $$\frac{81-1}{4} + \frac{9a-a}{2} + (15 + 5) = 60$$ $$\frac{80}{4} + \frac{8a}{2} + 20 = 60$$ $$20 + 4a + 20 = 60$$ $$40 + 4a = 60$$ $$4a = 20 \implies a = 5$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 5}$$