Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,5 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 94 % para la asistencia media anual.** Primero, extraemos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2$. - Tamaño de la muestra: $n = 850$. - Media muestral: $\bar{x} = 7$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $94\%$ de confianza: 1. Si $1 - \alpha = 0.94$, entonces $\alpha = 0.06$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.03$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.03 = 0.97$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.97 \implies z_{\alpha/2} \approx 1.88$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media se calcula como $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. El término $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es el error máximo admisible.

Calculamos el error máximo cometido ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.88 \cdot \frac{2}{\sqrt{850}} = 1.88 \cdot \frac{2}{29.1547} \approx 1.88 \cdot 0.0686 = 0.12896$$ Ahora construimos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $7 - 0.12896 = 6.87104$ - Límite superior: $7 + 0.12896 = 7.12896$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (6.8710, 7.1290)}$$

**B. [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97 % sea la mitad del obtenido en el apartado anterior?** En este apartado, cambian las condiciones: - El nuevo error debe ser la mitad del anterior: $E_{nuevo} = \frac{E_{anterior}}{2}$. Calculamos el valor exacto del error anterior para evitar arrastrar redondeos excesivos: $$E_{anterior} = 1.88 \cdot \frac{2}{\sqrt{850}} \approx 0.128965 \implies E_{nuevo} = \frac{0.128965}{2} \approx 0.064483$$ - El nuevo nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.97$, lo que implica $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla $N(0, 1)$ para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada a partir de la fórmula del error: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los nuevos valores ($z_{\alpha/2} = 2.17$, $\sigma = 2$, $E = 0.064483$): $$n = \left( \frac{2.17 \cdot 2}{0.064483} \right)^2 = \left( \frac{4.34}{0.064483} \right)^2 \approx (67.3045)^2 \approx 4529.89$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos asegurar que el error no sea superior al deseado, debemos **redondear siempre al entero superior**. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea igual o menor al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 4530 \text{ personas}}$$