Optimización de personal sanitario en residencia

Para resolver este problema de programación lineal, el primer paso es identificar las variables de decisión sobre las que queremos decidir: - $x$: número de enfermeros que acuden a la residencia. - $y$: número de médicos que acuden a la residencia. El objetivo es maximizar el beneficio neto total. Según el enunciado, se ganan 50€ por enfermero y 80€ por médico, por lo que la **función objetivo** es: $$B(x, y) = 50x + 80y$$ 💡 **Tip:** Define siempre las variables con unidades claras al principio para evitar confusiones al plantear las restricciones.

Traducimos las limitaciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Limitación de espacio:** El total de profesionales no puede superar los 12. $$x + y \le 12$$ 2. **Límite de descansos:** El total de descansos generados (2 por enfermero y 4 por médico) no puede ser mayor de 36. $$2x + 4y \le 36 \implies x + 2y \le 18$$ 3. **Disponibilidad de médicos:** La empresa solo tiene 8 médicos. $$y \le 8$$ 4. **Restricciones de no negatividad:** El número de profesionales no puede ser negativo. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como hemos hecho con la de los descansos) facilita mucho los cálculos posteriores y la representación gráfica.

Para hallar la solución, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: x + y = 12$. Puntos: $(0, 12)$ y $(12, 0)$. - $r_2: x + 2y = 18$. Puntos: $(0, 9)$ y $(18, 0)$. - $r_3: y = 8$. Recta horizontal. Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de estas rectas: - **A:** Intersección de $x=0$ e $y=0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$ - **B:** Intersección de $x=0$ e $y=8 \implies \mathbf{B(0, 8)}$ - **C:** Intersección de $y=8$ y $x+2y=18$: $x + 2(8) = 18 \implies x + 16 = 18 \implies x = 2 \implies \mathbf{C(2, 8)}$ - **D:** Intersección de $x+y=12$ y $x+2y=18$: Restando las ecuaciones: $(x+2y) - (x+y) = 18 - 12 \implies y = 6$. Sustituyendo: $x + 6 = 12 \implies x = 6 \implies \mathbf{D(6, 6)}$ - **E:** Intersección de $x+y=12$ e $y=0 \implies \mathbf{E(12, 0)}$

Evaluamos $B(x, y) = 50x + 80y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el máximo: - $B(0, 0) = 50(0) + 80(0) = 0$ euros. - $B(0, 8) = 50(0) + 80(8) = 640$ euros. - $B(2, 8) = 50(2) + 80(8) = 100 + 640 = 740$ euros. - **$B(6, 6) = 50(6) + 80(6) = 300 + 480 = 780$ euros.** - $B(12, 0) = 50(12) + 80(0) = 600$ euros. El valor máximo se alcanza en el punto $(6, 6)$. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo o mínimo de la función objetivo siempre se encuentra en un vértice de la región factible o en un segmento que une dos vértices.

Para obtener el máximo beneficio neto, la empresa debe enviar el número de profesionales correspondiente al punto $D(6, 6)$. - Número de enfermeros: **6** - Número de médicos: **6** El beneficio neto máximo que obtendrá la empresa es de **780 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{6 enfermeros, 6 médicos. Beneficio máximo: 780 €}}$$