Continuidad, extremos relativos e integral definida

**a) Determina los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua y tenga un mínimo relativo en $x = 2$.** El punto $x=2$ pertenece al primer intervalo de la función ($0 \le x \le 5$), donde la función viene dada por la rama: $$f_1(x) = x^3 + ax + 10$$ Para que exista un mínimo relativo en $x=2$, la primera derivada en ese punto debe ser igual a cero ($f'(2)=0$). Calculamos la derivada de esta rama: $$f_1'(x) = 3x^2 + a$$ Imponemos la condición de extremo relativo: $$f_1'(2) = 3(2)^2 + a = 0$$ $$12 + a = 0 \implies a = -12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un mínimo relativo, no basta con que $f'(x)=0$, también debe cumplirse que $f''(x) > 0$. Comprobémoslo: $f''(x) = 6x \implies f''(2) = 6(2) = 12 > 0$. Efectivamente, es un mínimo. ✅ **Valor de $a$:** $$\boxed{a = -12}$$

Para que la función sea continua en todo su dominio, debemos asegurar que no haya un salto entre las ramas en el punto de cambio $x = 5$. Esto ocurre si los límites laterales coinciden con el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 5^-$):** $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (x^3 + ax + 10)$$ Sustituyendo $x=5$ y el valor hallado $a=-12$: $$5^3 + (-12)(5) + 10 = 125 - 60 + 10 = 75$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 5^+$):** $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} \left( \frac{100}{x-3} + bx^2 \right)$$ $$\frac{100}{5-3} + b(5)^2 = \frac{100}{2} + 25b = 50 + 25b$$ Para que sea continua, ambos límites deben ser iguales: $$75 = 50 + 25b$$ $$25 = 25b \implies b = 1$$ ✅ **Valores de los parámetros:** $$\boxed{a = -12, \quad b = 1}$$

**b) Para $a = 0$, halla el área limitada por la función $f(x)$ y el eje OX en el intervalo [0,5].** Si $a=0$, en el intervalo $[0, 5]$ la función es $f(x) = x^3 + 10$. Para calcular el área, primero comprobamos si la función corta al eje OX en ese intervalo resolviendo $f(x)=0$: $$x^3 + 10 = 0 \implies x^3 = -10 \implies x = \sqrt[3]{-10} \approx -2.15$$ Como el valor $x \approx -2.15$ está fuera del intervalo $[0, 5]$, la función no corta al eje OX en dicho intervalo. Además, $f(x) > 0$ para todo $x \in [0, 5]$, por lo que el área es simplemente la integral definida. $$A = \int_{0}^{5} (x^3 + 10) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \frac{x^4}{4} + 10x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** paso a paso: $$A = \left[ \frac{x^4}{4} + 10x \right]_{0}^{5} = F(5) - F(0)$$ $$A = \left( \frac{5^4}{4} + 10(5) \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 10(0) \right)$$ $$A = \left( \frac{625}{4} + 50 \right) - 0 = 156.25 + 50 = 206.25 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre se expresa en unidades cuadradas ($u^2$) y debe ser un valor positivo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = 206.25 \text{ u}^2}$$