Distribución normal: Comparación de salarios en dos empresas

**a) Si en la empresa A el salario mensual medio es de 1200 euros y su desviación típica es 400 euros, ¿cuál es la probabilidad de que un trabajador cobre más de 1740 euros al mes?** Definimos la variable aleatoria $X_A$ como el salario mensual de los trabajadores de la empresa A. Según el enunciado: $$X_A \sim N(\mu = 1200, \sigma = 400)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un trabajador cobre más de 1740 euros, es decir: $P(X_A \gt 1740)$. Para resolverlo, debemos **tipificar** la variable para pasar de una normal cualquiera a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X_A - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores: $$P(X_A \gt 1740) = P\left(Z \gt \frac{1740 - 1200}{400}\right) = P\left(Z \gt \frac{540}{400}\right) = P(Z \gt 1.35)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que suelen venir con el examen.

Para calcular $P(Z \gt 1.35)$, recordamos que las tablas de la distribución normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada hacia la izquierda, es decir, $P(Z \le z)$. Aplicamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 1.35) = 1 - P(Z \le 1.35)$$ Buscamos el valor $1.35$ en la tabla de la $N(0, 1)$: - Buscamos $1.3$ en la primera columna. - Buscamos $0.05$ en la primera fila. - La intersección nos da el valor: **0.9115**. Calculamos el resultado final: $$P(Z \gt 1.35) = 1 - 0.9115 = 0.0885$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X_A \gt 1740) = 0.0885 \text{ (un 8.85 %)}}$$

**b) Si en la empresa B el 80.23 % de los trabajadores cobra menos de 1570 euros, calcula la desviación típica del salario mensual sabiendo que el salario medio mensual es de 1400 euros.** Definimos la variable $X_B$ como el salario mensual en la empresa B. Conocemos: - Media: $\mu = 1400$ - Desviación típica: $\sigma$ (desconocida) - Probabilidad: $P(X_B \lt 1570) = 0.8023$ Tipificamos la variable igual que en el apartado anterior: $$P\left(Z \lt \frac{1570 - 1400}{\sigma}\right) = 0.8023$$ $$P\left(Z \lt \frac{170}{\sigma}\right) = 0.8023$$ 💡 **Tip:** En este caso el camino es el inverso: conocemos la probabilidad y debemos buscar el valor de $z$ en la tabla para despejar la incógnita.

Buscamos el valor de probabilidad **0.8023** en el interior de la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$. Al localizarlo, vemos que corresponde a un valor de $z = 0.85$. Por tanto, podemos igualar el valor tipificado con el valor de la tabla: $$\frac{170}{\sigma} = 0.85$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{170}{0.85}$$ $$\sigma = 200$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 200 \text{ euros}}$$