Problema de sistemas de ecuaciones: Huéspedes de hotel

**Determina el número de huéspedes de cada uno de los 3 países.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de huéspedes procedentes de **Italia**. - $y$: número de huéspedes procedentes de **Portugal**. - $z$: número de huéspedes procedentes de **Japón**. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. El total de huéspedes fue 25: $$x + y + z = 25$$ 2. El gasto total fue de 3610 €, con los precios por país: $$140x + 130y + 160z = 3610$$ 3. El número de portugueses ($y$) fue la cuarta parte de la suma de los otros dos ($x+z$): $$y = \frac{x + z}{4}$$ 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante en los problemas de sistemas de ecuaciones. Asegúrate de que las unidades coincidan (en este caso, personas y euros).

Para trabajar con números más sencillos, simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 10 y reordenamos la tercera: Sustituyendo la tercera en forma estándar: $y = \frac{x+z}{4} \implies 4y = x + z \implies x - 4y + z = 0$ El sistema queda así: $$\begin{cases} x + y + z = 25 & \text{(E1)} \\ 14x + 13y + 16z = 361 & \text{(E2)} \\ x - 4y + z = 0 & \text{(E3)} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones dividiendo todos sus términos por el mismo número ayuda a evitar errores de cálculo posteriores.

Observamos que de (E3) podemos obtener la suma $x + z = 4y$. Sustituimos esta expresión en la primera ecuación (E1): $$(x + z) + y = 25 \implies 4y + y = 25$$ $$5y = 25 \implies y = \frac{25}{5} = 5$$ Ahora que sabemos que hay **5 huéspedes portugueses**, el sistema de tres incógnitas se reduce a dos usando $y=5$ en (E1) y (E2): 1. De (E1): $x + 5 + z = 25 \implies x + z = 20$ 2. De (E2): $14x + 13(5) + 16z = 361 \implies 14x + 65 + 16z = 361$ $$14x + 16z = 361 - 65 \implies 14x + 16z = 296$$ Podemos simplificar $14x + 16z = 296$ dividiendo entre 2: $$7x + 8z = 148$$

Tenemos el sistema reducido: $$\begin{cases} x + z = 20 \implies x = 20 - z \\ 7x + 8z = 148 \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$7(20 - z) + 8z = 148$$ $$140 - 7z + 8z = 148$$ $$z = 148 - 140 = 8$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 20 - 8 = 12$$ 💡 **Tip:** En sistemas con estructuras particulares como este, la sustitución suele ser más rápida que el método de Gauss.

Los resultados obtenidos son: - Número de italianos: $x = 12$ - Número de portugueses: $y = 5$ - Número de japoneses: $z = 8$ **Comprobación:** - Total: $12 + 5 + 8 = 25$ (Correcto). - Gasto: $140(12) + 130(5) + 160(8) = 1680 + 650 + 1280 = 3610$ (Correcto). - Relación: $5 = \frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{12 italianos, 5 portugueses y 8 japoneses}}$$