Optimización del beneficio en la venta de botellas de agua

**2B- Una empresa de aguas realiza un estudio de mercado y descubre que la curva de beneficios mensuales viene dada, en miles de euros, por la función $B(x) = 10x - x^2 - 21$, donde $x$ representa, en euros, el precio de venta de una caja de botellas. Si este producto se vende en cajas de 10 botellas, calcula el precio de venta de una botella para que el beneficio obtenido sea máximo y calcula el importe de ese beneficio.** Primero, identificamos la función de beneficio $B(x)$ y sus variables: - $x$: Precio de venta de una **caja** (en euros). - $B(x)$: Beneficio mensual (en **miles de euros**). Para hallar el máximo de la función, necesitamos calcular su primera derivada: $$B(x) = -x^2 + 10x - 21$$ $$B'(x) = -2x + 10$$ 💡 **Tip:** Para optimizar una función, el primer paso suele ser derivar e igualar a cero para encontrar los puntos críticos.

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $x$ que hace que la pendiente de la función sea nula: $$-2x + 10 = 0$$ $$-2x = -10$$ $$x = \frac{-10}{-2} = 5$$ Esto nos indica que el beneficio máximo se alcanza cuando el precio de la caja es de **5 euros**. $$\boxed{x = 5}$$

Para asegurar que en $x = 5$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada $B'(x)$ en los intervalos alrededor del punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 5) & 5 & (5, +\infty) \\ \hline B'(x) = -2x+10 & + & 0 & - \\ \hline B(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array} $$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 5$, confirmamos que es un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** También se podría usar el criterio de la segunda derivada: $B''(x) = -2$. Al ser $B''(5) = -2 \lt 0$, se confirma que es un máximo.

El enunciado nos indica que el producto se vende en cajas de 10 botellas. Si el precio óptimo de la caja es $x = 5$ euros, calculamos el precio de una sola botella: $$\text{Precio botella} = \frac{\text{Precio caja}}{\text{Botellas por caja}}$$ $$\text{Precio botella} = \frac{5}{10} = 0,50 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado (Precio de venta):** $$\boxed{0,50 \text{ €/botella}}$$

Sustituimos el valor $x = 5$ en la función original $B(x)$ para obtener el beneficio máximo en miles de euros: $$B(5) = 10(5) - (5)^2 - 21$$ $$B(5) = 50 - 25 - 21 = 4$$ Como el beneficio está expresado en miles de euros: $$4 \times 1000 = 4000 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado (Beneficio):** $$\boxed{4000 \text{ €}}$$