Probabilidad y Estadística 2018 Castilla y Leon
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Bufetes de abogados
3B- Una corporación informática utiliza 3 bufetes de abogados para resolver sus casos legales en los tribunales. El bufete A recibe el 30% de los casos legales y gana en los tribunales el 60% de los casos presentados, el bufete B recibe el 50% de los casos legales y gana el 80% de los casos presentados, mientras que el bufete C recibe el 20% de los casos legales y gana el 70% de los casos presentados. Se elige al azar uno de los casos presentados en los tribunales.
a) Determina la probabilidad de que la empresa gane el caso.
b) Si el caso elegido se ha ganado, calcula la probabilidad de que haya sido encargado al bufete A.
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
* $A$: El caso es encargado al bufete A.
* $B$: El caso es encargado al bufete B.
* $C$: El caso es encargado al bufete C.
* $G$: La empresa gana el caso legal.
* $\bar{G}$: La empresa pierde el caso legal.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
* $P(A) = 0.30$
* $P(B) = 0.50$
* $P(C) = 0.20$
* $P(G|A) = 0.60$ (Probabilidad de ganar dado que es del bufete A)
* $P(G|B) = 0.80$ (Probabilidad de ganar dado que es del bufete B)
* $P(G|C) = 0.70$ (Probabilidad de ganar dado que es del bufete C)
Representamos esta información en un **árbol de probabilidad**:
Paso 2
Probabilidad de ganar el caso
**a) Determina la probabilidad de que la empresa gane el caso.**
Para calcular la probabilidad de ganar el caso, $P(G)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso ganar puede ocurrir a través de cualquiera de los tres bufetes (A, B o C).
La fórmula es:
$$P(G) = P(A) \cdot P(G|A) + P(B) \cdot P(G|B) + P(C) \cdot P(G|C)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(G) = (0.30 \cdot 0.60) + (0.50 \cdot 0.80) + (0.20 \cdot 0.70)$$
$$P(G) = 0.18 + 0.40 + 0.14$$
$$P(G) = 0.72$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las ramas del árbol que terminan en el suceso que buscamos (en este caso, G).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.72}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si el caso elegido se ha ganado, calcula la probabilidad de que haya sido encargado al bufete A.**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabemos que el caso se ha ganado (suceso $G$) y queremos saber la probabilidad de que provenga del bufete $A$. Esto se resuelve mediante el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(A|G) = \frac{P(A \cap G)}{P(G)} = \frac{P(A) \cdot P(G|A)}{P(G)}$$
Ya tenemos todos los datos necesarios:
* $P(A \cap G) = 0.30 \cdot 0.60 = 0.18$
* $P(G) = 0.72$ (calculado en el apartado anterior)
Calculamos:
$$P(A|G) = \frac{0.18}{0.72} = \frac{18}{72}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(A|G) = \frac{1}{4} = 0.25$$
💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes siempre se calcula como: (Probabilidad de la rama favorable) / (Probabilidad total del suceso condicionante).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|G) = 0.25}$$