Probabilidad de selección de personas en una clase de yoga

Para resolver este problema, primero debemos identificar la composición del grupo y el experimento aleatorio que se realiza. **Datos del problema:** - Número de mujeres ($M$): $7$ - Número de hombres ($H$): $12$ - Total de personas: $7 + 12 = 19$ El experimento consiste en seleccionar a **tres personas al azar**. Al extraerlas a la vez (o de una en una sin devolución), el orden en el que las seleccionamos importa para el cálculo mediante el diagrama de árbol, aunque el resultado final debe contemplar todas las combinaciones posibles que sumen dos mujeres y un hombre. 💡 **Tip:** En problemas de extraer personas de un grupo, se asume que es un muestreo **sin reemplazamiento**, ya que no se puede elegir a la misma persona dos veces.

Representamos las posibles extracciones. Aunque hay muchas ramas, nos interesan aquellas que cumplen la condición de tener exactamente **dos mujeres ($M$) y un hombre ($H$)**. Las ramas favorables son: $(M, M, H)$, $(M, H, M)$ y $(H, M, M)$.

Calculamos la probabilidad de cada uno de los tres caminos favorables identificados en el árbol: 1. **Camino MMH:** Se elige mujer, luego mujer y luego hombre. $$P(M, M, H) = \frac{7}{19} \cdot \frac{6}{18} \cdot \frac{12}{17} = \frac{504}{5814}$$ 2. **Camino MHM:** Se elige mujer, luego hombre y luego mujer. $$P(M, H, M) = \frac{7}{19} \cdot \frac{12}{18} \cdot \frac{6}{17} = \frac{504}{5814}$$ 3. **Camino HMM:** Se elige hombre, luego mujer y luego mujer. $$P(H, M, M) = \frac{12}{19} \cdot \frac{7}{18} \cdot \frac{6}{17} = \frac{504}{5814}$$ 💡 **Tip:** Fíjate que en los tres casos el denominador es el mismo ($19 \cdot 18 \cdot 17$) y el numerador es el mismo producto en distinto orden ($7 \cdot 6 \cdot 12$). Esto siempre ocurre en este tipo de problemas de selección sin reemplazamiento.

La probabilidad total de seleccionar dos mujeres y un hombre es la suma de las probabilidades de los tres caminos: $$P(2M \text{ y } 1H) = P(M,M,H) + P(M,H,M) + P(H,M,M)$$ $$P(2M \text{ y } 1H) = 3 \cdot \left( \frac{504}{5814} \right) = \frac{1512}{5814}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $6$: $$\frac{1512}{5814} = \frac{252}{969}$$ Dividiendo ahora entre $3$: $$\frac{252}{969} = \frac{84}{323} \approx 0.2601$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(2M \text{ y } 1H) = \frac{84}{323} \approx 0.2601}$$ *(Nota: También podrías haberlo resuelto usando combinatoria mediante la fórmula de Laplace: $P = \frac{\binom{7}{2} \cdot \binom{12}{1}}{\binom{19}{3}} = \frac{21 \cdot 12}{969} = \frac{252}{969}$)*