Optimización de la producción en un taller artesano

**utiliza técnicas de programación lineal para calcular el número de collares y pulseras que tienen que elaborar para que su beneficio sea máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?** En primer lugar, debemos identificar qué es lo que queremos calcular para asignar las variables: - $x$: número de collares elaborados. - $y$: número de pulseras elaboradas. La función que queremos maximizar es el **beneficio total** ($B$), que depende de la venta de cada pieza: $$B(x, y) = 5x + 4y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las unidades. Aquí $x$ e $y$ son unidades físicas, por lo que deben ser números enteros no negativos.

A partir del enunciado, extraemos las limitaciones o restricciones del taller: 1. **Restricción de cantidad:** El número total de piezas no puede superar las 50. $$x + y \le 50$$ 2. **Restricción de tiempo:** El tiempo total (2h por collar y 1h por pulsera) no puede exceder las 80 horas. $$2x + 1y \le 80 \implies 2x + y \le 80$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas de productos. $$x \ge 0$$ $$y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones que define la región factible es: $$\begin{cases} x + y \le 50 \\ 2x + y \le 80 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumple la desigualdad: - Recta $r_1: x + y = 50$. Pasa por $(0, 50)$ y $(50, 0)$. - Recta $r_2: 2x + y = 80$. Pasa por $(0, 80)$ y $(40, 0)$. La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que delimitan la región: - **O**: Origen $(0,0)$. - **A**: Corte de $2x + y = 80$ con el eje $OX$ ($y=0$): $$2x + 0 = 80 \implies x = 40 \implies A(40, 0)$$ - **B**: Intersección de $x + y = 50$ y $2x + y = 80$. Resolvemos el sistema por reducción: $$\begin{cases} 2x + y = 80 \\ x + y = 50 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x - x) + (y - y) = 80 - 50 \implies x = 30$. Sustituyendo en la primera: $30 + y = 50 \implies y = 20$. Por tanto, $B(30, 20)$. - **C**: Corte de $x + y = 50$ con el eje $OY$ ($x=0$): $$0 + y = 50 \implies y = 50 \implies C(0, 50)$$ 💡 **Tip:** Los vértices de la región factible son los candidatos a ser la solución óptima del problema.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 5x + 4y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(0, 0) = 5(0) + 4(0) = 0$ € - $B(40, 0) = 5(40) + 4(0) = 200$ € - $B(30, 20) = 5(30) + 4(20) = 150 + 80 = 230$ € - $B(0, 50) = 5(0) + 4(50) = 200$ € El valor máximo se alcanza en el punto $B(30, 20)$. Esto significa que para maximizar el beneficio deben elaborar **30 collares y 20 pulseras**. El beneficio máximo asciende a **230 euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{30 collares, 20 pulseras. Beneficio: 230 €}}$$